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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^4\cdot \sin (3x)\).
(2 BE)

Aufgabe 2

Löse die Gleichung \((\cos (x))^2 +2\cos (x)=0\) für \(0\leq x\leq 2\pi\).
(2 BE)

Aufgabe 3

a)
Zeige, dass einer der Punkte, in denen \(g\) den Graphen von \(f\) schneidet, die \(x\)-Koordinate \(\dfrac{1}{2}\) hat.
b)
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(f,\) die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.
(2,5 BE)

Aufgabe 4

Die Abbildung 2 zeigt den Graphen einer Funktion \(f.\)
a)
Einer der folgenden Graphen \(\text{I},\) \(\text{II}\) oder \(\text{III}\) gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f.\) Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
Ableitung 1
Abb. 3: Graph \(\text{I}\)
Ableitung 1
Abb. 3: Graph \(\text{I}\)
Ableitung 2
Abb. 4: Graph \(\text{II}\)
Ableitung 2
Abb. 4: Graph \(\text{II}\)
Ableitung 3
Abb. 5: Graph \(\text{III}\)
Ableitung 3
Abb. 5: Graph \(\text{III}\)
b)
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f.\)
Gib das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründe deine Angabe.
(2,5 BE)

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade \(g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{2\\0\\1}+ t\cdot\pmatrix{1\\0\\-3}\) und die Ebene \(E:3x_1-2x_2+x_3=14\).
a)
Untersuche die gegenseitige Lage von \(g\) und \(E\).
b)
Die Gerade \(h\) entsteht durch Spiegelung der Gerade \(g\) an der Ebene \(E\).
Bestimme eine Gleichung von \(h\).
(4 BE)

Aufgabe 6

Gegeben ist die Gerade \(g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{4\\-6\\3}+ t\cdot \pmatrix{1\\-2\\2}.\)
a)
Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem \(g\) die \(x_2x_3\)-Ebene schneidet.
b)
Bestimme den Abstand des Punktes \(P (-3\mid -1 \mid 7)\) von der Geraden \(g.\)
(4 BE)

Aufgabe 7

In einer Urne sind eine rote, eine weiße und drei schwarze Kugeln. Es wird so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis man eine schwarze Kugel zieht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: "Man zieht genau zwei Kugeln."
B: "Unter den gezogenen Kugeln befindet sich die rote Kugel."
(3 BE)
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Lösungen
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Aufgabe 1

Unter Anwendung der Produktregel- und Kettenregel folgt:
\(f‘(x)= 4x^3\cdot \sin(3x)+3x^4\cdot \cos(3x)\)

Aufgabe 2

\(\begin{array}[t]{rll}
(\cos(x))^2+2\cos(x) &=& 0 \\[5pt]
\cos(x) \cdot \left(\cos(x) +2 \right) &=& 0 
\end{array}\)
Wegen des Satzes vom Nullprodukt muss mindestens einer der beiden Faktoren Null sein.
\(\begin{array}[t]{rll}
\text{I}\quad & \cos(x)  &=& 0 \\[5pt]
\text{II}\quad & \cos(x) + 2   &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -2 \\[5pt]
& \cos(x)  &=& -2
\end{array}\)
Die erste Gleichung ist für \(x_1= \frac{\pi}{2}\) und \(x_2=\frac{3}{2}\pi\) erfüllt.
Da \(\cos(x)\) nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen kann, gibt es keine Lösung für die zweite Gleichung.
Die Lösungen der Gleichung sind also \(x_1= \dfrac{\pi}{2}\) und \(x_2=\dfrac{3}{2}\pi.\)

Aufgabe 3

a)
\(\blacktriangleright\)  Schnittstelle zeigen
Damit sich der Graph von \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x\) schneiden, muss \(f(x) = -3\) gelten:
\(\begin{array}[t]{rll}
-3 &=& f(x) \\[5pt]
-3 &=& 1-\frac{1}{x^2} &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt]
-4 &=& -\frac{1}{x^2}  &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(-x^2\right) \\[5pt]
4x^2&=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt]
x^2 &=& \frac{1}{4} \\[5pt]
x_1 &=& -\frac{1}{2}  \\[5pt]
x_2 &=& \frac{1}{2}
\end{array}\)
Der Graph von \(f\) und die Gerade \(g\) schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die \(x\)-Koordinate \(\frac{1}{2}.\)
b)
\(\blacktriangleright\)  Flächeninhalt rechnerisch bestimmen
Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von \(f\) zur \(y\)-Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß.
Fläche
Abb. 1: Skizze
Fläche
Abb. 1: Skizze
Sowohl die Nullstellen von \(f\) als auch die Schnittstellen von \(f\) und \(g\) sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt \(A_1\) der rechten grünen Fläche mit einem Integral über \(f\) in den Grenzen \(a=0,5\) und \(b=1\) berechnen:
\(\begin{array}[t]{rll}
A_1 &=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt]
&=& \left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \right|   \\[5pt]
&=& \left| \left[x+\frac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \right| \\[5pt]
&=& 1+\frac{1}{1} - \left(0,5+\frac{1}{0,5} \right)\\[5pt]
&=& 0,5
\end{array}\)
Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen \(1\) und \(3.\) Der zugehörige Flächeninhalt ist also:
\(\begin{array}[t]{rll}
A_2 &=& 1\cdot 3  \\[5pt]
&=& 3
\end{array}\)
Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu:
\(A = 2\cdot A_1 +A_2 = 2\cdot 0,5 + 3 = 4\)
Die Fläche, die der Graph von \(f,\) die Gerade \(g\) und die \(x\)-Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von \(4\) Flächeneinheiten.

Aufgabe 4

a)
\(\blacktriangleright\)  Graphen zuordnen
Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion \(f.\)
Gehe also nacheinander die Graphen \(\text{I}\) bis \(\text{III}\) durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von \(f\) passen.
  • Graph \(\text{I}\) schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 2.\) Der Graph von \(f\) muss an diesen Stellen also die Steigung \(0\) haben. Dies trifft zu, da der Graph von \(f\) an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
    Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph \(\text{I}\) die \(y\)-Achse ca. im Punkt \((0\mid -0,8)\) schneidet. An der Stelle \(x=0\) muss der Graph von \(f\) also die Steigung \(-0,8\) besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von \(f\) an der Stelle \(x=0\) in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung \(-0,8\) besitzt.
    Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph \(\text{I}\) zur Ableitungsfunktion von \(f\) gehört.
  • Graph \(\text{II}\) schneidet die \(x\)-Achse an den Stellen \(x_1 \approx -3,5\) und \(x_2\approx 3,5.\) An diesen Stellen müsste der Graph von \(f\) also die Steigung \(0\) haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph \(\text{II}\) kann also nicht zur Ableitungsfunktion \(f‘\) von \(f\) gehören.
  • Graph \(\text{III}\) besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der \(x\)-Achse wie Graph \(\text{I}\) und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die \(y\)-Achse aber im Punkt \((0\mid -2).\) Der Graph von \(f\) müsste daher an der Stelle \(x=0\) die Steigung \(-2\) besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. \(-0,8\) beträgt. Graph \(\text{III}\) kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von \(f\) gehören.
Graph \(\text{I}\) gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f.\)
b)
\(\blacktriangleright\)  Monotonieverhalten angeben
Im Intervall \([1;3]\) liegt der Graph von \(f\) unterhalb der \(x\)-Achse. \(f\) besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da \(F\) eine Stammfunktion von \(f\) ist, ist \(f\) die erste Ableitungsfunktion von \(F\) und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von \(F.\)
Da die Funktionswerte von \(f\) auf dem Intervall \([1;3]\) negativ sind, ist die Steigung des Graphen von \(F\) auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion \(F\) fällt also streng monoton auf dem Intervall \([1;3].\)

Aufgabe 5

a)
\(\blacktriangleright\)  Gegenseitige Lage untersuchen
Die Punkte auf \(g\) besitzen die Koordinaten \(G(2+t\mid 0 \mid 1-3t).\) Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
\(\begin{array}[t]{rll}
E:\, 3x_1 -2x_2 +x_3 &=& 14  \\[5pt]
3\cdot (2+t) -2\cdot 0 + (1-3t)&=& 14 \\[5pt]
6+3t +1-3t &=& 14  \\[5pt]
7 &=& 14
\end{array}\)
Dies ist ein Widerspruch. Die Gerade \(g\) und die Ebene \(E\) haben somit keine gemeinsamen Punkte und verlaufen parallel zueinander.
b)
\(\blacktriangleright\)  Geradengleichung bestimmen
\(h\) verläuft parallel zu \(g.\) Du kannst also den Richtungsvektor von \(g\) als Richtungsvektor von \(h\) verwenden.
Spiegle den Stützpunkt \(P(2\mid 0\mid 1)\) von \(g\) an der Ebene, um einen Stützpunkt \(P‘\) für \(h\) zu erhalten.
1. Schritt: Hilfsgerade aufstellen
Bestimme eine Hilfsgerade \(k,\) die senkrecht zu \(E\) verläuft und durch den Stützpunkt \(P\) von \(g\) verläuft. Verwende als Richtungsvektor beispielsweise einen Normalenvektor von \(E\) und als Stützpunkt \(P.\)
\(k:\, \overrightarrow{x}= \pmatrix{2\\0\\1} + r\cdot \pmatrix{3\\-2\\1}\)
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Die Koordinaten der Punkte auf der Hilfsgeraden lauten \(K(2+3r\mid -2r \mid 1+r).\) Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
\(\begin{array}[t]{rll}
E:\, 3x_1 -2x_2+x_3 &=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; K(2+3r\mid -2r \mid 1+r) \\[5pt]
3\cdot (2+3r) -2\cdot (-2r) + 1+r &=& 14  \\[5pt]
6 +9r +4r +1+r &=& 14   \\[5pt]
7 +14r &=& 14 &\quad \scriptsize \mid\; -7 \\[5pt]
14r &=& 7 &\quad \scriptsize \mid\;:14 \\[5pt]
r &=& \frac{1}{2}
\end{array}\)
Einsetzen in die Geradengleichung:
\(\overrightarrow{OS} = \pmatrix{2\\0\\1} + \frac{1}{2}\cdot \pmatrix{3\\-2\\1} = \pmatrix{3,5\\-1\\1,5} \)
3. Schritt: Koordinaten eines Punkts von \(k\) bestimmen
Für den gespiegelten Punkt \(P‘\) gilt:
\(\overrightarrow{OP‘} = \overrightarrow{OP} + 2\cdot \overrightarrow{PS} = \pmatrix{2\\0\\1} + 2\cdot \pmatrix{1,5\\-1\\0,5} = \pmatrix{5\\-2\\2} \)
Eine Gleichung der gespiegelten Gerade lautet:
\(h:\, \overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\-2\\2}  + t\cdot \pmatrix{1\\0\\-3} \)

Aufgabe 6

a)
\(\blacktriangleright\)  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Damit die Gerade \(g\) die \(x_2x_3\)-Ebene schneiden kann, muss \(x_1=0\) sein. Für die \(x_1\)-Koordinate von \(g\) gilt \(x_1 = 4+t.\)
\(\begin{array}[t]{rll}
4+t &=& 0  &\quad \scriptsize \mid\;-4 \\[5pt]
t &=& -4 
\end{array}\)
Einsetzen:
\(\pmatrix{4\\-6\\3} -4 \cdot \pmatrix{1\\-2\\2} = \pmatrix{0 \\ 2 \\ -5}\)
Der Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x_2x_3\)-Ebene ist \(S(0\mid 2\mid -5).\)
b)
\(\blacktriangleright\)  Abstand des Punkts bestimmen
1. Schritt: Aufstellen einer Hilfsebene
Bestimme eine Hilfsebene \(H,\) die senkrecht zu \(g\) verläuft und den Punkt \(P\) enthält. Verwende als Normalenvektor den Richtungsvektor von \(g\) und führe anschließend eine Punktprobe mit \(P\) durch:
\(\begin{array}[t]{rll}
H: \,  x_1 -2x_2 +2x_3  &=& d  &\quad \scriptsize \mid\; P(-3\mid -1\mid 7) \\[5pt]
-3 -2\cdot (-1) +2\cdot 7 &=& d  \\[5pt]
13 &=& d 
\end{array}\)
\(H:\,  x_1 -2x_2 +2x_3  = 13\)
2. Schritt: Schnittpunkt von \(H\) und \(g\) bestimmen
Die Koordinaten der Punkte auf \(g\) lauten \(G(4+t \mid -6 -2t \mid 3+2t).\) Einsetzen in die Ebenengleichung von \(H\) lautet:
\(\begin{array}[t]{rll}
H: \,  x_1 -2x_2 +2x_3  &=& 13  &\quad \scriptsize \mid\; G(4+t \mid -6 -2t \mid 3+2t) \\[5pt]
4+t - 2\cdot (-6-2t) +2\cdot (3+2t) &=& 13  \\[5pt]
4+t +12+4t +6 +4t &=& 13  \\[5pt]
22 +9t &=&  13 &\quad \scriptsize \mid\;-22 \\[5pt]
9t &=& -9 &\quad \scriptsize \mid\; :9 \\[5pt]
t&=& -1
\end{array}\)
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
\(\overrightarrow{OS} = \pmatrix{4\\-6\\3} -1\cdot \pmatrix{1\\-2\\2} = \pmatrix{3\\-4\\1}\)
3. Schritt: Abstand berechnen
\(d(P,g) = \left|\overrightarrow{PS} \right| = \left|\pmatrix{6\\-3\\-6} \right| = \sqrt{6^2 +(-3)^2 +(-6)^2} = 9\)
Der Punkt \(P\) hat von der Geraden \(g\) einen Abstand von \(9\) Längeneinheiten.

Aufgabe 7

\(\begin{array}[t]{rll}
P(A) &=& \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4} \\[5pt]
&=& \frac{6}{20} \\[5pt]
&=& \frac{3}{10}  \\[5pt]
&=& 0,3  \\[5pt]
&=& 30\,\% \\[10pt]
P(B) &=& \frac{1}{5} + \frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt]
&=& \frac{5}{20} \\[5pt]
&=& \frac{1}{4}  \\[5pt]
&=& 0,25  \\[5pt]
&=& 25\,\% \\[5pt]
\end{array}\)
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