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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=x^4\cdot \sin (3x)\).
(2 VP)

Aufgabe 2

Löse die Gleichung \((\cos (x))^2 +2\cos (x)=0\) für \(0\leq x\leq 2\pi\).
(2 VP)

Aufgabe 3

a)
Zeige, dass einer der Punkte, in denen \(g\) den Graphen von \(f\) schneidet, die \(x\)-Koordinate \(\frac{1}{2}\) hat.
b)
Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von \(f,\) die \(x\)-Achse und die Gerade \(g\) einschließen.
(2,5 VP)

Aufgabe 4

Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion \(f.\)
a)
Einer der folgenden Graphen I, II oder III gehört zur ersten Ableitungsfunktion von \(f.\)
Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.
b)
Die Funktion \(F\) ist eine Stammfunktion von \(f.\)
Gib das Monotonieverhalten von \(F\) im Intervall \([1;3]\) an. Begründe deine Angabe.
(2,5 VP)

Aufgabe 5

Gegeben sind die Gerade \(g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{2\\0\\1}+ t\cdot\pmatrix{1\\0\\-3}\) und die Ebene \(E:3x_1-2x_2+x_3=14\).
a)
Untersuche die gegenseitige Lage von \(g\) und \(E\).
b)
Die Gerade \(h\) entsteht durch Spiegelung der Geraden \(g\) an der Ebene \(E\).
Bestimme eine Gleichung von \(h\).
(4 VP)

Aufgabe 6

Gegeben ist die Gerade \(g: \overrightarrow{x}= \pmatrix{4\\-6\\3}+ t\cdot \pmatrix{1\\-2\\2}.\)
a)
Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem \(g\) die \(x_2x_3\)-Ebene schneidet.
b)
Bestimme den Abstand des Punktes \(P (-3\mid -1 \mid 7)\) von der Geraden \(g.\)
(4 VP)

Aufgabe 7

In einer Urne sind eine rote, eine weiße und drei schwarze Kugeln. Es wird so lange ohne Zurücklegen gezogen, bis man eine schwarze Kugel zieht.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: "Man zieht genau zwei Kugeln."
B: "Unter den gezogenen Kugeln befindet sich die rote Kugel."
(3 VP)
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Lösungen
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Lösung 1

Unter Anwendung der Produkt- und Kettenregel folgt:
\(f

Lösung 2

\(\begin{array}[t]{rll}
(\cos(x))^2+2\cos(x)&=&0\\[5pt]
\cos(x)\cdot\left(\cos(x)+2\right) &=&0
\end{array}\)
Wegen dem Satz vom Nullprodukt muss mindestens einer der beiden Faktoren Null sein.
\(\begin{array}[t]{rll}
\text{I}&\cos(x)&=&0\\[5pt]
\text{II}&\cos(x)+2&=&0&\scriptsize\mid\;-2\\[5pt]
&\cos(x)&=&-2
\end{array}\)
Aus \(\text{I}\) folgt: \(x_1= \frac{\pi}{2}\) und \(x_2=\frac{3}{2}\pi\)
Da \(\cos(x)\) nur Werte zwischen \(-1\) und \(1\) annehmen kann, gibt es keine Lösung für die zweite Gleichung.
\(\mathbb{L}=\left\{x_1=\dfrac{\pi}{2};x_2=\dfrac{3}{2}\pi\right\}\)

Lösung 3

a)
Schnittstelle zeigen
Damit sich die Graphen von \(f\) und \(g\) an der Stelle \(x\) schneiden, muss \(f(x) = -3\) gelten:
\(\begin{array}[t]{rll}
    f(x)&=&-3 \\[5pt]
    1-\dfrac{1}{x^2} &=& -3\quad \scriptsize \mid\; +3 \\[5pt]
    4-\dfrac{1}{x^2} &=& 0\quad \scriptsize \mid\; +\dfrac{1}{x^2} \\[5pt]
    4&=& \dfrac{1}{x^2}\quad \scriptsize \mid\; \cdot x^2 \\[5pt]
    4x^2&=& 1 \quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt]
    x^2 &=& \dfrac{1}{4} \\[5pt]
    x_1 &=& -\dfrac{1}{2} \\[5pt]
    x_2 &=& \dfrac{1}{2}
    \end{array}\)
Damit ist gezeigt, dass einer der beiden Punkte die \(x\)-Koordinate \(\frac{1}{2}\) hat.
b)
Flächeninhalt rechnerisch bestimmen
Die Fläche setzt sich zusammen aus den beiden dunkel bzw. grün gefärbten Flächen zwischen dem Graphen von \(f\) und der \(x\)-Achse, die aufgrund der Symmetrie von \(f\) zur \(y\)-Achse gleich groß sind, sowie dem hell gefärbten Rechteck dazwischen mit den Seitenlängen \(1\) und \(3.\)
Die Teilflächen liegen unterhalb der \(x\)-Achse. Für den Inhalt der Gesamtfläche gilt:
\(\begin{array}[t]{rll}
    A &=& 3\cdot 1 + 2\cdot\left|\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \right| \\[5pt]
    &=& 3\cdot 1 -2\cdot\displaystyle\int_{0,5}^{1}f(x)\;\mathrm dx \\[5pt]
    &=&3-2\cdot\displaystyle\int_{0,5}^{1}\left(1-\frac{1}{x^2} \right)\;\mathrm dx \\[5pt]
    &=&3- 2\cdot \left[x+\dfrac{1}{x} \right]_{0,5}^1 \\[5pt]
    &=&3- 2\cdot\left(1+\dfrac{1}{1} - \left(0,5+\dfrac{1}{0,5} \right)\right)\\[5pt]
    &=&3+ 1=4
    \end{array}\)
Die Fläche hat einen Inhalt von \(A=4\,\text{FE}.\)

Lösung 4

a)
Graph zuordnen
Graph \(\text{I}\) gehört zur Ableitungsfunktion \(f
Graph \(\text{II}\) kann es nicht sein, da an den Stellen \(x_1=-2\) und \(x_2=2\) die Extremstellen von \(f\) liegen und die Ableitungsfunktion \(f an diesen Stellen die \(x\)-Achse schneiden muss.
Die Steigung von \(f\) an der Stelle \(0\) liegt zwischen \(0\) und \(-1.\) Daher scheidet auch Graph \(\text{III}\) aus.
b)
Monotonieverhalten angeben
Laut Abbildung gilt \(F für \(1\leq x \leq 3.\)
Die Stammfunktion von \(F\) ist damit im Intervall streng monoton fallend.

Lösung 5

a)
Gegenseitige Lage untersuchen
Die Punkte auf \(g\) besitzen die Koordinaten \(G(2+t\mid 0 \mid 1-3t).\) Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
\(\begin{array}[t]{rll}
    3x_1 -2x_2 +x_3 &=& 14 \\[5pt]
    3\cdot (2+t) -2\cdot 0 + (1-3t)&=& 14 \\[5pt]
    6+3t +1-3t &=& 14 \\[5pt]
    7 &=& 14
    \end{array}\)
Dies ist ein Widerspruch. Die Gerade \(g\) und die Ebene \(E\) haben somit keine gemeinsamen Punkte und verlaufen parallel zueinander.
b)
Geradengleichung bestimmen
\(h\) verläuft parallel zu \(g.\) Der Richtungsvektor von \(g\) kann deshalb als Richtungsvektor für \(h\) verwendet werden.
Um einen Stützpunkt \(P für \(h\) zu erhalten, wird der Stützpunkt \(P(2\mid 0\mid 1)\) von \(g\) an der Ebene gespiegelt:
1. Schritt: Hilfsgerade aufstellen
Es wird eine Hilfsgerade \(k\) aufgestellt, die senkrecht zu \(E\) und durch den Stützpunkt \(P\) von \(g\) verläuft. Als Richtungsvektor wird ein Normalenvektor von \(E\) verwendet.
\(k:\overrightarrow{x}= \pmatrix{2\\0\\1} + r\cdot \pmatrix{3\\-2\\1}\)
2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen
Die Koordinaten der Punkte auf der Hilfsgeraden lauten \(K(2+3r\mid -2r \mid 1+r).\) Einsetzen in die Ebenengleichung liefert:
\(\begin{array}[t]{rll}
    3x_1 -2x_2+x_3 &=& 14 \\[5pt]
    3\cdot (2+3r) -2\cdot (-2r) + 1+r &=& 14 \\[5pt]
    6 +9r +4r +1+r &=& 14 \\[5pt]
    7 +14r &=& 14 \\[5pt]
    14r &=& 7 \\[5pt]
    r &=& \dfrac{1}{2}
    \end{array}\)
Einsetzen in die Geradengleichung:
\(\overrightarrow{OS} = \pmatrix{2\\0\\1} + \dfrac{1}{2}\cdot \pmatrix{3\\-2\\1} = \pmatrix{3,5\\-1\\1,5} \)
3. Schritt: Ortsvektor von \(P bestimmen
Für den gespiegelten Punkt \(P gilt:
\(\overrightarrow{OP \(= \pmatrix{2\\0\\1} + 2\cdot \pmatrix{3,5-2\\-1-0\\1,5-1}\,\) \(= \pmatrix{2\\0\\1} + 2\cdot \pmatrix{1,5\\-1\\0,5}\,\) \(=\pmatrix{5\\-2\\2} \)
Eine Gleichung der gespiegelten Gerade lautet:
\(h:\overrightarrow{x}=\pmatrix{5\\-2\\2} + t\cdot \pmatrix{1\\0\\-3} \)

Lösung 6

a)
Koordinaten des Schnittpunkts berechnen
Damit die Gerade \(g\) die \(x_2x_3\)-Ebene schneiden kann, muss \(x_1=0\) sein. Für die \(x_1\)-Koordinate von \(g\) gilt \(x_1 = 4+t.\)
\(\begin{array}[t]{rll}
    4+t &=& 0\\[5pt]
    t &=& -4
    \end{array}\)
Einsetzen in \(g\) ergibt den Schnittpunkt:
\(\pmatrix{4\\-6\\3} -4 \cdot \pmatrix{1\\-2\\2} = \pmatrix{0 \\ 2 \\ -5}\)
Der Schnittpunkt von \(g\) mit der \(x_2x_3\)-Ebene ist \(S(0\mid 2\mid -5).\)
b)
Abstand des Punkts bestimmen
1. Schritt: Aufstellen einer Hilfsebene
Die Hilfsebene \(H\) steht senkrecht zu \(g\) und enthält den Punkt \(P.\) Als Normalenvektor wird der Richtungsvektor von \(g\) verwendet.
\(\begin{array}[t]{rll}
    x_1 -2x_2 +2x_3 &=& d \\[5pt]
    -3 -2\cdot (-1) +2\cdot 7 &=& d \\[5pt]
    13 &=& d
    \end{array}\)
\(H:\, x_1 -2x_2 +2x_3 = 13\)
2. Schritt: Schnittpunkt von \(H\) und \(g\) bestimmen
Die Koordinaten der Punkte auf \(g\) lauten \(G(4+t \mid -6 -2t \mid 3+2t).\)
Einsetzen in die Ebenengleichung von \(H\):
\(\begin{array}[t]{rll}
    x_1 -2x_2 +2x_3 &=& 13 \\[5pt]
    4+t - 2(-6-2t) +2(3+2t) &=& 13 \\[5pt]
    4+t +12+4t +6 +4t &=& 13 \\[5pt]
    22 +9t &=& 13 \\[5pt]
    9t &=& -9 \\[5pt]
    t&=& -1
    \end{array}\)
Einsetzen in die Geradengleichung liefert:
\(\overrightarrow{OS} = \pmatrix{4\\-6\\3} -1\cdot \pmatrix{1\\-2\\2} = \pmatrix{3\\-4\\1}\)
3. Schritt: Abstand berechnen
\(d(P,g) = \left|\overrightarrow{PS} \right|\,\) \( = \left|\pmatrix{6\\-3\\-6} \right| = \sqrt{6^2 +(-3)^2 +(-6)^2} = 9\)
Der Punkt \(P\) hat von der Geraden \(g\) einen Abstand von \(9\,\text{LE}.\)

Lösung 7

\(\begin{array}[t]{rll}
P(A) &=& \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{10} \\[5pt]
\end{array}\)
\(P(B)=P(\text{rs})+P(\text{rws})+P(\text{wrs})\,\) \(=\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{3}{4}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{3}+\dfrac{1}{5}\cdot\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{3}\,\) \(=\dfrac{3}{20}+\dfrac{1}{20}+\dfrac{1}{20}\,\)=\(\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4}\)
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