Zeige, dass einer der Punkte, in denen den Graphen von schneidet, die -Koordinate hat.

Bestimme rechnerisch den Inhalt der Fläche, die der Graph von die -Achse und die Gerade einschließen.

Einer der folgenden Graphen oder gehört zur ersten Ableitungsfunktion von Gib diesen Graphen an. Begründe, dass die beiden anderen Graphen dafür nicht infrage kommen.

Die Funktion ist eine Stammfunktion von
Gib das Monotonieverhalten von im Intervall an. Begründe deine Angabe.

Untersuche die gegenseitige Lage von und .

Die Gerade entsteht durch Spiegelung der Gerade an der Ebene .
Bestimme eine Gleichung von .

Berechne die Koordinaten des Punktes, in dem die -Ebene schneidet.

Bestimme den Abstand des Punktes von der Geraden

  Schnittstelle zeigen Damit sich der Graph von und an der Stelle schneiden, muss gelten: Der Graph von und die Gerade schneiden sich also in zwei Punkten, einer von ihnen besitzt die -Koordinate

  Flächeninhalt rechnerisch bestimmen Anhand der Skizze in Abbildung 1 kannst du die betrachtete Fläche in drei Teilstücke aufteilen. Wegen der Symmetrie des Graphen von zur -Achse sind die beiden grünen Flächen gleichgroß. Sowohl die Nullstellen von als auch die Schnittstellen von und sind dir bekannt. Du kannst also den Inhalt der rechten grünen Fläche mit einem Integral über in den Grenzen und berechnen: Bei der schraffierten Fläche handelt es sich um ein Rechteck mit den Seitenlängen und Der zugehörige Flächeninhalt ist also: Der gesamte Flächeninhalt ergibt sich zu: Die Fläche, die der Graph von die Gerade und die -Achse einschließen, besitzt einen Flächeninhalt von Flächeneinheiten.

  Graphen zuordnen Die erste Ableitungsfunktion beschreibt die Steigung des Graphen der Ausgangsfunktion
Gehe also nacheinander die Graphen bis durch und überprüfe, ob markante Funktionswerte zu der Steigung des Graphen von passen.

• Graph schneidet die -Achse an den Stellen und Der Graph von muss an diesen Stellen also die Steigung haben. Dies trifft zu, da der Graph von an diesen Stellen offensichtlich Extrempunkte besitzt.
  Weiterhin kannst du ablesen, dass Graph die -Achse ca. im Punkt schneidet. An der Stelle muss der Graph von also die Steigung besitzen. Zeichnest du eine Tangente an den Graphen von an der Stelle in Abbildung 2 ein, so kannst du abschätzen, dass diese in etwa die Steigung besitzt.
  Du kannst also davon ausgehen, dass diese beiden Bedingungen dafür sprechen, dass Graph zur Ableitungsfunktion von gehört.
• Graph schneidet die -Achse an den Stellen und An diesen Stellen müsste der Graph von also die Steigung haben. Dies ist aber nicht der Fall. Graph kann also nicht zur Ableitungsfunktion von gehören.
• Graph besitzt zwar die gleichen Schnittpunkte mit der -Achse wie Graph und passt in diesem Kriterium daher zur gesuchten Ableitungsfunktion, schneidet die -Achse aber im Punkt Der Graph von müsste daher an der Stelle die Steigung besitzen. Oben haben wir aber bereits abgelesen, dass die Steigung an dieser Stelle ca. beträgt. Graph kann daher nicht zur gesuchten Ableitungsfunktion von gehören.

Graph gehört zur ersten Ableitungsfunktion von

  Monotonieverhalten angeben Im Intervall liegt der Graph von unterhalb der -Achse. besitzt daher negative Funktionswerte auf dem gesamten Intervall. Da eine Stammfunktion von ist, ist die erste Ableitungsfunktion von und beschreibt demnach die Steigung des Graphen von
Da die Funktionswerte von auf dem Intervall negativ sind, ist die Steigung des Graphen von auf diesem Intervlal negativ. Die Funktion fällt also streng monoton auf dem Intervall

  Gegenseitige Lage untersuchen Die Punkte auf besitzen die Koordinaten Einsetzen in die Ebenengleichung liefert: Dies ist ein Widerspruch. Die Gerade und die Ebene haben somit keine gemeinsamen Punkte und verlaufen parallel zueinander.

  Geradengleichung bestimmen verläuft parallel zu Du kannst also den Richtungsvektor von als Richtungsvektor von verwenden.
Spiegle den Stützpunkt von an der Ebene, um einen Stützpunkt für zu erhalten. 1. Schritt: Hilfsgerade aufstellen Bestimme eine Hilfsgerade die senkrecht zu verläuft und durch den Stützpunkt von verläuft. Verwende als Richtungsvektor beispielsweise einen Normalenvektor von und als Stützpunkt 2. Schritt: Schnittpunkt bestimmen Die Koordinaten der Punkte auf der Hilfsgeraden lauten Einsetzen in die Ebenengleichung liefert: Einsetzen in die Geradengleichung: 3. Schritt: Koordinaten eines Punkts von bestimmen Für den gespiegelten Punkt gilt: Eine Gleichung der gespiegelten Gerade lautet:

  Koordinaten des Schnittpunkts berechnen Damit die Gerade die -Ebene schneiden kann, muss sein. Für die -Koordinate von gilt Einsetzen: Der Schnittpunkt von mit der -Ebene ist

  Abstand des Punkts bestimmen 1. Schritt: Aufstellen einer Hilfsebene Bestimme eine Hilfsebene die senkrecht zu verläuft und den Punkt enthält. Verwende als Normalenvektor den Richtungsvektor von und führe anschließend eine Punktprobe mit durch: 2. Schritt: Schnittpunkt von und bestimmen Die Koordinaten der Punkte auf lauten Einsetzen in die Ebenengleichung von lautet: Einsetzen in die Geradengleichung liefert: 3. Schritt: Abstand berechnen Der Punkt hat von der Geraden einen Abstand von Längeneinheiten.