a)
Koordinate des Extrempunktes
angeben
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion

mit:

ist ihr Schaubild. Deine Aufgabe ist es, die Koordinaten des Extrempunktes

zu bestimmen.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die
notwendige und
hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle

einer Funktion

müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
- Notwendige Bedingung:

- Hinreichende Bedingung:

Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktion

. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von

einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion

zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion

.
Diese erhältst du, indem du die
Produktregel anwendest:
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss

gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung

gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
An dieser Stelle kannst du den
Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term

für keinen Wert für

gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an

ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Extremstelle mit dem GTR zu bestimmen:
Gib dazu den Term der ersten Ableitungsfunktion ƒ‘ an und lass deren Schaubild im
Graph-Modus anzeigen. Wähle dann unter
G-Solve F1: ROOT
|
den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle aus und bestätige mit Enter.
Der GTR liefert dir eine potentielle Extremstelle an

.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung

erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion

. Diese erhältst du, indem du den Term von

erneut mit Hilfe der
Produktregel ableitest:
Überprüfe nun, ob

erfüllt wird:
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an

eine Extremstelle vorliegt. Wegen

kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen
Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle

ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die

-Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die

-Koordinate erhältst du, indem du

in den Funktionsterm von

einsetzt und berechnest:
Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle

auch mit Hilfe des GTR bestimmen.
Gib dazu die Funktion

im
Graph-Modus an und lass deren Graph anzeigen.
Den Funktionswert an der besagten Stelle

erhältst du über folgende Befehlsfolge:
Die Koordinaten des Extrempunktes

lauten

.
Koordinate des Wendepunktes
angeben
Laut Aufgabenstellung besitzt das Schaubild

einen Wendepunkt. Um dessen Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die Wendestelle

der Funktion

bestimmen. Für diese Wendestelle müssen folgende Bedingungen erfüllt sein:
- Notwendige Bedingung:

- Hinreichende Bedingung:

Hast du anschließend

bestimmt, so kannst du die Wendestelle in den Term der Funktion

einsetzen und so die

-Koordinate des Wendepunktes bestimmen.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Wendestelle der Funktion

zu überprüfen, benötigst du die zweite Ableitungsfunktion der Funktion

. Diese hast du zuvor mit Hilfe der Produktregel bestimmt:
Für die hinreichende Bedingung muss

gelten:
An dieser Stelle kannst du den
Satz vom Nullprodukt anwenden. Da der Term

für keinen Wert für

gleich Null werden kann, kannst du diesen vernachlässigen.
Damit hast du eine potentielle Wendestelle an

ermittelt.
Alternativ bietet es sich auch an, die potentielle Wendestelle mit dem GTR zu bestimmen:
Gib dazu den Term der zweiten Ableitungsfunktion
an und lass deren Schaubild im Graph-Modus
anzeigen. Wähle dann unter
G-Solve F1: ROOT
|
den Befehl zum Bestimmen der Nullstelle aus
und bestätige mit Enter.
Der GTR liefert dir eine potentielle Wendestelle an

.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Wendestelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung

erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die dritte Ableitung der Funktion

. Diese erhältst du, indem du den Term von

erneut mit Hilfe der
Produktregel ableitest:
Überprüfe nun, ob

erfüllt wird:
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an

eine Wendestelle liegt.
3. Schritt: Koordinaten des Wendepunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle

ein Wendepunkt befindet. Damit hast du die

-Koordinate des Wendepunktes ermittelt. Die

-Koordinate erhältst du, indem du

in den Funktionsterm von

einsetzt und berechnest:
Alternativ kannst du den Funktionswert an der Stelle

auch mit Hilfe des GTR bestimmen. Gib dazu die Funktion

im
Graph-Modus
an und lass deren Graph anzeigen. Den Funktionswert
an der besagten Stelle

erhältst
du über folgende Befehlsfolge:
Die Koordinaten des des Wendepunktes

lauten

.
Gleichung der Asymptote von
angeben
Betrachte das Schaubild der Funktion

in deinem GTR.
Deine Aufgabe ist es, die Gleichung der Asymptote von

anzugeben.
Anhand des Schaubildes (Abbildung links) kannst du bereits vermuten, dass es sich um eine
waagrechte Asymptote handelt.
Um die Gleichung der Asymptote zu bestimmen, kannst du die Funktion

für

und für

untersuchen.
Untersuchen für 
:
Der Funktionsterm von

ist gegeben durch

.
Betrachtest du

, so kannst du festhalten, dass gilt:
Da der

-Term den dominanten Term darstellt, konvergiert die Funktion

für

gegen 0.
Die Gleichung der Asymptote lautet also

.
Untersuchen für 
:
Betrachtest du noch

, so kannst du festhalten, dass gilt:
Da auch hier der

-Term den dominanten Term darstellt, der Term durch den Teil

für

aber immer ein negatives Vorzeichen besitzt, strebt die Funktion

für

gegen

. Damit liegt keine weitere Asymptote vor.
Skizzieren des Schaubildes
Weiterhin verlangt die Aufgabenstellung, das Schaubild

zu skizzieren. Dabei kannst du folgende Angaben verwenden:
- Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
- Verwende, dass sich der Hochpunkt an
und der Wendepunkt an
befindet.
- Für
konvergiert die Funktion gegen 0, für
strebt sie gegen
.
Zusätzlich kannst du dir noch die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden lassen. Diese findest du im TABLE-Modus unter F6: TABL:
Das Schaubild

sollte dann folgendermaßen aussehen:
b)
Wert für
bestimmen, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt
Gegeben sind die Punkte

,

und

. Sie stellen die Eckpunkte eines Dreiecks dar.
Deine Aufgabe ist es, einen Wert für

so zu bestimmen, dass der Flächeninhalt des Dreieck 8 FE beträgt.
Der Flächeninhalt

eines Dreiecks berechnet sich allgemein über folgenden Zusammenhang:
Dabei stellt

die Länge der Grundseite und

die Länge der Höhe dar.
Um einen passenden Wert für

zu ermitteln, kannst du wie folgt vorgehen:
- Stelle die Flächenfunktion in Abhängigkeit vom Parameter
auf.
- Setze den resultierenden Term mit 8 gleich und löse nach
auf, um den gesuchten Wert zu erhalten.
Den zweiten Schritt kannst du mit Hilfe deines GTR durchführen.
1. Schritt: Flächenfunktion aufstellen
Anhand der Abbildung kannst du erkennen, dass die Grundseite dem Wert

und die Höhe dem Funktionswert

entspricht. Dadurch erhältst du folgende von

abhängige Flächenfunktion

:
Setze den Funktionsterm von

ein, um den vollständigen Term er Flächenfunktion

zu erhalten:
2. Schritt: Wert für Parameter
ermitteln
Um einen passenden Wert für

zu erhalten, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt, kannst
du den aufgestellten Term der Flächenfunktion mit 8 gleichsetzen und nach

auflösen. Da
dieser Weg rechnerisch sehr aufwendig ist, wählen wir die graphische Lösung des Problems
mit Hilfe des GTR:
- Gib den Funktionsterm
im GTR ein.
- Gib weiterhin eine Gerade mit der Gleichung y = 8 an und lass beide im Graph-Modus anzeigen.
- Bestimme die Schnittstelle der beiden Schaubilder. Diese entspricht gerade dem gesuchten Wert für
.
Der GTR liefert dir drei verschiedene Werte für

, sodass der Flächeninhalt 8 FE beträgt.
Da aber laut Aufgabenstellung

gelten soll, kannst du das Resultat

vernachlässigen.
Damit hast du zwei passende Werte für

ermittelt mit
-
,
-
.
Wert für
bestimmen, sodass das Dreieck gleichschenklig ist
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, muss einer der folgenden Fälle eintreten:
Gib dazu zunächst die Länge der Seiten

,

und

in Abhängigkeit von

an und setze diese gleich, um so einen passenden Parameterwert für

zu ermitteln.
1. Schritt: Länge der Seiten in Abhängigkeit von
angeben
-
Die Seitenlänge
entspricht dem Abstand vom Ursprung
zum Punkt
. Dieser Abstand ist gerade gleich
.
-
Die Seitenlänge
stellt den Abstand zwischen den Punkten
und
dar. Da diese die gleiche
-Koordinate haben, besitzen sie einen Abstand von
.
-
berechnet sich mit Hilfe des Satzes von Pythagoras:
.
2. Schritt: Seitenlängen gleichsetzen, um
zu bestimmen
Damit das Dreieck gleichschenklig ist, können die oben genannten drei Fälle

,

oder

eintreten. Wir überprüfen zunächst, ob für den Fall

ein

existiert:
1. Fall:
Mit dem
Satz vom Nullprodukt folgt, dass die Gleichung nur für

gelöst werden kann. Da aber für

kein Dreieck zustande kommt, kannst du diesen Wert vernachlässigen. Geometrisch interpretiert heißt das, dass die Seiten

und

in dieser Konstruktion niemals gleich lang werden.
2. Fall:
Als nächstes überprüfen wir, ob ein

für den Fall

existiert.
Auch diese Gleichung hat nur die Lösung

, was wiederum heißt, dass die Seiten

und

niemals gleich lang werden.
3. Fall:
Überprüfe noch den letzten Fall

:
Im zweiten Schritt dividieren wir durch

, da für die Lösung

kein Dreieck entsteht.
Durch Auflösen der Gleichung erhältst du den gesuchten Parameterwert für

mit

. Das heißt, für

ist das Dreieck gleichschenklig.
Parameter
bestimmen
Gegeben ist der Funktionsterm einer Funktion

mit:
Deine Aufgabe ist es, den Parameter

so zu bestimmen, dass die beiden Extrempunkte des Graphen von

einen Abstand von 13 besitzen.
Dazu kannst du wie folgt vorgehen:
- Bestimme die Koordinaten der Extrempunkte in Abhängigkeit von
.
- Berechne den Abstand
der Extrempunkte.
- Bestimme
so, dass der Abstand gerade 13 beträgt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die
notwendige und
hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle

einer Funktion

müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
- Notwendige Bedingung:

- Hinreichende Bedingung:

Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstellen der Funktion

. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmten Stellen in den Funktionsterm von

einsetzen und erhältst so die zugehörigen Funktionswerte an den Extremstellen.
1. Schritt: Extrempunkte bestimmen (Notwendige Bedingung)
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion

zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion

. Diese erhältst du, indem du die
Produktregel anwendest:
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss

gelten. Setze also den Funktionsterm der ersten Ableitung

gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird.
Damit hast du zwei potentielle Extremstellen an

und

ermittelt und kannst für diese Stellen nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Extrempunkte bestimmen (Hinreichende Bedingung)
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung

erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion

. Diese erhältst du, indem du den Term von

erneut ableitest:
Überprüfe nun, ob

erfüllt wird:
Da in der Aufgabenstellung

vorausgesetzt wird, kann die zweite Ableitungsfunktion nicht gleich Null werden.
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist und damit, dass an

Extremstellen vorliegen.
Wegen

kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen
Tiefpunkt und handelt. Analog kannst du aussagen, dass wegen

an der Stelle

ein
Hochpunkt vorliegt.
3. Schritt: Koordinaten der Extrempunkte angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an den Stellen

und

Extrempunkte befinden. Damit hast du die

-Koordinate der Extrempunkte ermittelt. Die

-Koordinate erhältst du, indem du

in den Funktionsterm von

einsetzt und berechnest:
Das liefert dir, dass der Tiefpunkt die Koordinaten

besitzt.
Das liefert dir, dass der Hochpunkt die Koordinaten

besitzt.
4. Schritt: Abstand der Extrempunkte bestimmen
Den Abstand

zweier Punkte

und

kannst du über folgenden Zusammenhang bestimmen:
Einsetzen der Koordinaten der Extrempunkte

und

liefert dir den Abstand mit:
Der Abstand der Extrempunkte

und

beträgt also

.
5. Schritt: Parameterwert für
bestimmen
Damit die beiden Extrempunkte einen Abstand von 13 haben, muss

gelten. Löse diese Gleichung nach

auf, um den gesuchten Parameterwert zu erhalten.
Diese Gleichung kannst du mit Hilfe des GTR graphisch lösen. Interpretiere dazu den Term

als Funktionsterm und untersuche diesen auf Nullstellen.
Der GTR liefert dir zwei Resultate:
Da laut Aufgabenstellung aber

gelten soll, ist

das gesuchte Ergebnis.
Es muss

gelten, damit der Abstand der beiden Extrempunkte 13 beträgt.