Aufgabe 2.1
a)
Graphen von
skizzieren
Die Funktion

beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:
Dabei sind

die Stunden nach Beobachtungsbeginn und

die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion

im Intervall
![\(\left[ 0;30 \right]\)](https://mathjax.schullv.de/975ae5b378f293adfb2e5458c50c0575ac8d05a2c2d23dbe151042c566cabcd7?color=5a5a5a)
zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:
- Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
- Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE :
Das Schaubild

sollte dann folgendermaßen aussehen:
Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen
Die Funktion

beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst das
Maximum der Funktion

mit dem GTR bestimmen. Prüfe, ob es Randextrema gibt.
Die Koordinaten des Hochpunktes kannst du mit deinem GTR berechnen. Lasse dir dazu zunächst den Graphen der Funktion für

zeichnen. Das Maximum kannst du dir mit folgendem Befehl berechnen lassen:
2ND CALC 4: maximum
|
Anhand des Graphen siehst du, dass die Funktion kein weiteres Maximum an den Intervallgrenzen hat. Du kannst jedoch zusätzlich die Funktionswerte an den Stellen

und

mit dem GTR berechnen. Sind diese kleiner als der Funktionswert des Hochpunktes, so hat die Funktion

keine Maxima an den Intervallgrenzen.
Die Koordinaten des Hochpunktes

lauten

. Die maximale momentane Ankunftsrate beträgt demnach 325 Fahrzeuge pro Stunde.
Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen
Beschreibt die Funktion

die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion

der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:
Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
Das Integral über das Intervall
![\(\left[0;6\right]\)](https://mathjax.schullv.de/4f9e3c1911b7f2eaf5dc78df3b762538d9382a576594ceb6550206df6c41ba48?color=5a5a5a)
kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Den entsprechenden Befehl findest du unter
MATH 9:fnInt()
|
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:
Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion

aus, unter welcher du den Term von

abgespeichert hast.
Der GTR liefert dir, dass ungefähr 769 Fahrzeuge in den ersten 6 Stunde am Grenzübergang ankommen.
b)
Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen
Pro Stunde können am Grenzübergang

Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt

zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:
- Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von
, an der
erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion
mit 110 gleich.
- Löse nach
auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.
Diese Aufgabe kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion

und der Geraden

im
Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem

den Funktionswert 110 erreicht.
Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im
Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:
menu CALC 5: intersect
|
Bestätigen mit
Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:
Anhand des Graphen der Funktion

kannst du erkennen, dass an
erstmalig die Anzahl von 110 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt

ist.
Nach 2,54 Stunden beginnen sich Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen.
Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen
In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion

und der Geraden

. Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt

Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl

der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
Dabei sind

und

die Schnittstellen der Funktion

und der Gerdaden

, die du zuvor bestimmt hast mit:
Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral
![\(\left[t_0;t_1\right]\)](https://mathjax.schullv.de/3fd6f5ac2f7bc9960f5df993e2f1f3fdcc14be1502199f30bce421974ae8d077?color=5a5a5a)
gewählt, da ab dem Zeitpunkt

wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl

nimmt ab.
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest.
Das Integral über das Intervall
![\(\left[t_0;t_1\right]\)](https://mathjax.schullv.de/3fd6f5ac2f7bc9960f5df993e2f1f3fdcc14be1502199f30bce421974ae8d077?color=5a5a5a)
kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Den entsprechenden Befehl findest du unter
MATH 9:fnInt()
|
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:
Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion

aus, unter welcher du den Term von

abgespeichert hast.
Der GTR liefert dir, dass sich maximal 2.325 Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.
Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde
12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf

Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl

entspricht hier der rot markierten Fläche.
Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:
Dabei ist

die Schnittstelle der Funktion

und der Geraden

, die du zuvor bestimmt hast mit:

.
Dahingegen ist

die Schnittstelle der Funktion

und der Geraden

. Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:
- Bestimme die Schnittstelle
der Funktion
und der Geraden
.
- Berechne das Integral

1. Schritt: Schnittstelle
bestimmen
Das kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion

und der Geraden

im
Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem

den Funktionswert 220 erreicht.
Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im
Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:
menu CALC 5: intersect
|
Bestätigen mit
Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:
Anhand des Graphen der Funktion

kannst du erkennen, dass an

erstmalig die Anzahl von 220 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Da aber erst nach 12 Stunden auf 220 erhöht werden soll, kannst du dieses Resultat vernachlässigen. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt

ist.
2. Schritt: Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge berechnen
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest. Das Integral
kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.
Den entsprechenden Befehl findest du unter
MATH 9:fnInt()
|
Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:
Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion

aus, unter welcher du den Term von

abgespeichert hast.
Der GTR liefert dir, dass sich durch die Erhöhung ab der 12. Stunde auf 220 Fahrzeuge pro Stunde maximal

Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.
Aufgabe 2.2
a)
Koordinaten des Extrempunktes angeben
Die Funktionenschar

mit

und dem Definitionsbereich

ist durch folgenden Term definiert:
In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar

einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter

abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die
notwendige und
hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle

einer Funktion

müssen folgende Kriterien erfüllt werden:
- Notwendige Bedingung:

- Hinreichende Bedingung:

Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar

. Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von

einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.
1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen
Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion

zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion

.
Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss

gelten. Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung

gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:
Im ersten Schritt dürfen wir durch

dividieren, da

Voraussetzung ist.
Weiterhin weißt du, dass die Sinusfunktion für

den Wert Null annimmt. Da die Funktionenschar

aber nur im Bereich

definiert ist, kommt nur

als Nullstelle in Frage.
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an

ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.
2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen
Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung

erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion

. Diese erhältst du, indem du den Term von

erneut ableitest:
Überprüfe nun, ob

erfüllt wird:
Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist, da

gilt. Das heißt, an

liegt eine Extremstelle vor. Wegen

kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen
Hochpunkt handelt.
3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben
Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle

ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die

-Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die

-Koordinate erhältst du, indem du

in den Funktionsterm von

einsetzt und berechnest:
Die Koordinaten des Extrempunktes

lauten

.
b)
Punkte auf der
-Achse angeben
Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen

,

und

der Funktionenschar

jeweils einen Punkt auf der

-Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche
kein Graph der Funktionenschar

verläuft.
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:
- Laut Aufgabentext muss
gelten.
- Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten
und stellt damit den Schnittpunkt mit der
-Achse dar.
Betrachte die Hilfsfunktion

mit dem Term

und der Bedingung

.
Diese Hilfsfunktion gibt die

-Koordinate des Schnittpunktes

mit der

-Achse in Abhängigkeit von

an.
Lässt du die Hilfsfunktion in deinem GTR zeichnen, so kannst du erkennen, dass die Funktion

nach unten nicht beschränkt ist.
Ihr Maximum kannst du ermitteln, indem du
menu CALC 4: Maximum
|
auswählst.
Der GTR liefert dir, dass sich das Maximum an

mit

befindet. Das heißt, der Extrempunkt bzw. Schnittpunkt mit der

-Achse kann maximal die

-Koordinate

besitzen.
Du kannst also festhalten, dass der Graph der Funktionenschar

die Punkte

auf der

-Achse nicht berührt, für die

gilt.