Die Anzahl ankommender Fahrzeuge vor einem Grenzübergang soll modelliert werden. Dabei wird die momentane Ankunftsrate beschrieben durch die Funktion $f$ mit

$f(t)=\dfrac{1300000\cdot t}{t^{4}+30000};\,$ $0\leq t\leq30$

( $t$ in Stunden nach Beobachtungsbeginn, $f(t)$ in Fahrzeuge pro Stunde).
Anfangs befinden sich keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.

Skizziere den Graphen von $f$ .

Wann ist die momentane Ankunftsrate maximal?

Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden ankommen.

(4 VP)

Am Grenzübergang werden die Fahrzeuge möglichst schnell abgefertigt, jedoch ist die momentane Abfertigungsrate durch $110$ Fahrzeuge pro Stunde begrenzt.

Wann beginnen sich die Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen?

Wie viele Fahrzeuge stauen sich maximal vor dem Grenzübergang?

Welches Ergebnis erhielte man, wenn die momentane Abfertigungsrate $12$ Stunden nach Beobachtungsbeginn auf konstant $220$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht würde?

(6 VP)

Aufgabe A2.2

Für jedes $a>0$ ist eine Funktion $f_a$ gegeben durch

$f_{a}(x)=a\cdot\cos(x)-a^{2};$ $-\pi\lt x\lt\pi$ .

Der Graph von $f_a$ ist $G_a$ .

$G_a$ besitzt einen Extrempunkt.

Bestimme dessen Koordinaten.

(2 VP)

Durch welche Punkte der $y$ -Achse verläuft kein Graph $G_a$ ?

(3 VP)

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Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ skizzieren

Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:

$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$

Dabei sind $t$ die Stunden nach Beobachtungsbeginn und $f(t)$ die Fahrzeuge pro Stunde. Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang.
Deine Aufgabe ist es, den Graphen der Funktion $f$ im Intervall $\left[ 0;30 \right]$ zu skizzieren. Dabei kannst du folgendermaßen vorgehen:

Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE :

Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:

$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen

Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate von Fahrzeugen pro Stunde. Um die maximale momentane Ankunftsrate zu ermitteln, kannst du zunächst das Maximum der Funktion $f$ mit dem GTR bestimmen. Prüfe, ob es Randextrema gibt.

Die Koordinaten des Hochpunktes kannst du mit deinem GTR berechnen. Lasse dir dazu zunächst den Graphen der Funktion für $0\leq t\leq30$ zeichnen. Das Maximum kannst du dir mit folgendem Befehl berechnen lassen:

2ND CALC 4: maximum

Anhand des Graphen siehst du, dass die Funktion kein weiteres Maximum an den Intervallgrenzen hat. Du kannst jedoch zusätzlich die Funktionswerte an den Stellen $t=0$ und $t=30$ mit dem GTR berechnen. Sind diese kleiner als der Funktionswert des Hochpunktes, so hat die Funktion $f$ keine Maxima an den Intervallgrenzen.

Die Koordinaten des Hochpunktes $H$ lauten $H(10 \mid 325 )$ . Die maximale momentane Ankunftsrate beträgt demnach 325 Fahrzeuge pro Stunde.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen

Beschreibt die Funktion $f$ die momentane Ankunftsrate, so entspricht ihre Stammfunktion $F$ der Anzahl der ankommenden Fahrzeuge. Bestimme die Anzahl der Fahrzeuge, die in den ersten 6 Stunden am Grenzübergang ankommen. Diese Anzahl erhältst du über folgenden Zusammenhang:

$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$

Laut Aufgabentext befinden sich zu Beginn keine Fahrzeuge vor dem Grenzübergang. Daher ist die Konstante, die sich bei der Integration ergibt, gleich Null.
Das Integral über das Intervall $\left[0;6\right]$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.

Den entsprechenden Befehl findest du unter

MATH 9:fnInt()

Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:

VARS Y-VARS 1: Function

Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.

Der GTR liefert dir, dass ungefähr 769 Fahrzeuge in den ersten 6 Stunde am Grenzübergang ankommen.

b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen

Pro Stunde können am Grenzübergang $110$ Fahrzeuge abgefertigt werden. Aus dem Aufgabenteil zuvor weißt du jedoch, dass die maximale momentane Ankunftsrate 325 Fahrzeuge pro Stunde beträgt. Das heißt, dass zu einem gewissen Zeitpunkt mehr Fahrzeuge am Grenzübergang ankommen als abgefertigt werden können.
Deine Aufgabe ist es, diesen Zeitpunkt $t_0$ zu bestimmen. Dabei kannst du wie folgt vorgehen:

Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$ , an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.

Diese Aufgabe kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$ im Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem $f(t)$ den Funktionswert 110 erreicht.

Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:

menu CALC 5: intersect

Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:

$t_0=2,54$
$t_1=21,86$

Anhand des Graphen der Funktion $f$ kannst du erkennen, dass an $t_0=2,54$ erstmalig die Anzahl von 110 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_0=2,54$ ist.
Nach 2,54 Stunden beginnen sich Fahrzeuge vor dem Grenzübergang zu stauen.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen

In der Abbildung unten siehst du den skizzierten Graphen der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$ . Zuvor hast du ermittelt, dass sich erstmalig zum Zeitpunkt $t_0=2,54$ Fahrzeuge vor dem Übergang stauen. Die Anzahl $A$ der Fahrzeuge, die sich maximal vor dem Übergang anstauen, entspricht der rot markierten Fläche:

Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:

$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$

Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$ , die du zuvor bestimmt hast mit:

$t_0=2,54$
$t_1=21,86$

Für die maximale Anzahl an anstauenden Fahrzeugen wird das Integral $\left[t_0;t_1\right]$ gewählt, da ab dem Zeitpunkt $t_1$ wieder weniger Fahrzeuge ankommen, als abgefertigt werden können. Das heißt, die Anzahl $A$ nimmt ab.
Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest.
Das Integral über das Intervall $\left[t_0;t_1\right]$ kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.

Den entsprechenden Befehl findest du unter

MATH 9:fnInt()

Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:

VARS Y-VARS 1: Function

Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.

Der GTR liefert dir, dass sich maximal 2.325 Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde

12 Stunden nach Beobachtungsbeginn soll die momentane Abfertigungsate auf $\boldsymbol{220}$ Fahrzeuge pro Stunde erhöht werden. In den Stunden davor soll die momentane Abfertigungsrate weiterhin 110 Fahrzeuge pro Stunde betragen.
Berechne unter diesen Voraussetzungen die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge. Die gesuchte Anzahl $A$ entspricht hier der rot markierten Fläche.

Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:

$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$

Dabei ist $t_0$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $y=110$ , die du zuvor bestimmt hast mit: $t_0=2,54$ .
Dahingegen ist $t_2$ die Schnittstelle der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$ . Um die gesuchte Anzahl zu ermitteln, kannst du also wie folgt vorgehen:

Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$ .
Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$

1. Schritt: Schnittstelle $\boldsymbol{t_2}$ bestimmen

Das kannst du mittels GTR graphisch lösen. Gib dazu den Term der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$ im Graph-Modus an und bestimme ihre Schnittstelle. Denn diese entspricht gerade dem gesuchten Zeitpunkt, an dem $f(t)$ den Funktionswert 220 erreicht.

Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:

menu CALC 5: intersect

Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:

$t_2=15,9$
$t_3=5,2$

Anhand des Graphen der Funktion $f$ kannst du erkennen, dass an $t_3=5,2$ erstmalig die Anzahl von 220 pro Stunde ankommenden Fahrzeugen überschritten wird. Da aber erst nach 12 Stunden auf 220 erhöht werden soll, kannst du dieses Resultat vernachlässigen. Das liefert dir, dass der gesuchte Zeitpunkt $t_2=15,9$ ist.

2. Schritt: Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge berechnen

Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest. Das Integral

$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$

kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.

Den entsprechenden Befehl findest du unter

MATH 9:fnInt()

Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:

VARS Y-VARS 1: Function

Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.

Der GTR liefert dir, dass sich durch die Erhöhung ab der 12. Stunde auf 220 Fahrzeuge pro Stunde maximal $1.422,56+179,79 \approx 1.602$ Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben

Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $\mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:

$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$

In der Aufgabenstellung wird angegeben, dass der Graph der Funktionenschar $G_a$ einen Extrempunkt besitzt. Deine Aufgabe ist es, dessen Koordinaten anzugeben. Beachte, dass diese Koordinaten vom Parameter $a$ abhängig sein können, da es sich hierbei um eine Funktionenschar handelt.
Um die Koordinaten angeben zu können, musst du zunächst die notwendige und hinreichende Bedingung für Extremstellen überprüfen.
Für eine Extremstelle $x_E$ einer Funktion $f_a$ müssen folgende Kriterien erfüllt werden:

Notwendige Bedingung: $f_a‘(x_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $f_a‘‘(x_E) \neq 0$

Ermittle anhand diesen Bedingungen die Extremstelle der Funktionenschar $f_a$ . Hast du diese bestimmt, so kannst du die bestimmte Stelle in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzen und erhältst so den zugehörigen Funktionswert an dieser Extremstelle.

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f_a$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ .

$\begin{array}{rll} f_a(x)&=&a \cdot \cos(x) - a^{2}&\scriptsize \\ f_a‘(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$

Für die notwendige Bedingung einer Extremstelle muss $f_a‘(x_E)=0$ gelten. Setze den Funktionsterm der ersten Ableitung $f_a‘$ gleich Null und ermittle alle potentielle Werte, für die diese Gleichung erfüllt wird:

$\begin{array}{rll} 0&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \mid\; :(-a)\\ 0&=&\sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$

Im ersten Schritt dürfen wir durch $-a$ dividieren, da $a>0$ Voraussetzung ist.
Weiterhin weißt du, dass die Sinusfunktion für $x_E \in \{...-2 \cdot \pi;0;2 \cdot \pi; 4 \cdot \pi, ...\}$ den Wert Null annimmt. Da die Funktionenschar $f_a$ aber nur im Bereich $\boldsymbol{-\pi < x < \pi}$ definiert ist, kommt nur $x_E=0$ als Nullstelle in Frage.
Damit hast du eine potentielle Extremstelle an $x_E=0$ ermittelt und kannst für diese Stelle nun das hinreichende Kriterium überprüfen.

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

Damit eine Extremstelle vorliegt, muss weiterhin die hinreichende Bedingung $f_a‘‘(x_E=0)\neq 0$ erfüllt werden. Das heißt, du benötigst zunächst die zweite Ableitung der Funktion $f$ . Diese erhältst du, indem du den Term von $f_a‘$ erneut ableitest:

$\begin{array}{rll} f_a‘(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize <br> f_a‘‘(x)&=&- a \cdot \cos(x)&\scriptsize <br> \end{array}$

Überprüfe nun, ob $f_a‘‘(x_E=0)\neq 0$ erfüllt wird:

$\begin{array}{rll} f_a‘‘(x_E=0)&=& - a \cdot \cos(0)&\scriptsize \\ &=& - a \cdot 1&\scriptsize \\ &=& -a \neq 0&\scriptsize \\ \end{array}$

Das liefert dir, dass ebenfalls die hinreichende Bedingung erfüllt ist, da $0 < a$ gilt. Das heißt, an $x_E=0$ liegt eine Extremstelle vor. Wegen $f_a‘‘(x_E=0)<0$ kannst du festhalten, dass es sich hierbei um einen Hochpunkt handelt.

3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben

Aus den Berechnungen zuvor weißt du, dass sich an der Stelle $x_E=0$ ein Hochpunkt befindet. Damit hast du die $x$ -Koordinate des Hochpunktes ermittelt. Die $y$ -Koordinate erhältst du, indem du $x_E=0$ in den Funktionsterm von $f_a$ einsetzt und berechnest:

$\begin{array}{rll} f(x_E=0)&=&a \cdot \cos(0) - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a \cdot 1 - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a - a^{2} &\scriptsize \\ \end{array}$

Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(0 \mid a - a^{2} )$ .

b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$ -Achse angeben

Im Schaubild kannst du erkennen, dass die Graphen der Funktionen $f_1$ , $f_2$ und $f_{0,5}$ der Funktionenschar $f_a$ jeweils einen Punkt auf der $y$ -Achse schneiden. Gib die Punkte an, durch welche kein Graph der Funktionenschar $f_a$ verläuft.
Dabei kannst du folgende Eigenschaften verwenden:

Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse dar.

Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$ .

Diese Hilfsfunktion gibt die $y$ -Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$ -Achse in Abhängigkeit von $a$ an.

Lässt du die Hilfsfunktion in deinem GTR zeichnen, so kannst du erkennen, dass die Funktion $h$ nach unten nicht beschränkt ist.
Ihr Maximum kannst du ermitteln, indem du

menu CALC 4: Maximum

auswählst.
Der GTR liefert dir, dass sich das Maximum an $a=0,5$ mit $h(a)=0,25$ befindet. Das heißt, der Extrempunkt bzw. Schnittpunkt mit der $y$ -Achse kann maximal die $y$ -Koordinate $0,25$ besitzen.

Du kannst also festhalten, dass der Graph der Funktionenschar $f_a$ die Punkte $P(0 \mid y)$ auf der $y$ -Achse nicht berührt, für die $0,25 < y$ gilt.

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Aufgabe 2.1

a) $\blacktriangleright$ Graphen von $\boldsymbol{f}$ skizzieren

Die Funktion $f$ beschreibt die momentane Ankunftsrate ankommender Fahrzeuge an einem Grenzübergang. Ihr Funktionsterm ist gegeben durch:

$f(t)=\dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}$

Betrachte das Schaubild in deinem GTR, indem du den Graph-Modus auswählst.
Lasse dir die zugehörige Wertetabelle der Funktion einblenden. Diese findest du im Graph-Modus unter TABLE :

Das Schaubild $K$ sollte dann folgendermaßen aussehen:

$\blacktriangleright$ Maximale momentane Ankunftsrate bestimmen

menu F5: G-Solve F2: MAX

Die Koordinaten des Hochpunktes $H$ lauten $H(10 \mid 325 )$ . Die maximale momentane Ankunftsrate beträgt demnach 325 Fahrzeuge pro Stunde.

$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge bestimmen, die in den ersten 6 Stunden ankommen

$\int_{0}^{6} f(t) \mathrm{d}t=\displaystyle\int_{0}^{6} \dfrac{1.300.000\cdot t}{t^{4}+30.000}\mathrm{d}t$

Den entsprechenden Befehl findest du unter

F2: G-Solve F6: F3: dx

Der GTR liefert dir, dass ungefähr 769 Fahrzeuge in den ersten 6 Stunde am Grenzübergang ankommen.

b) $\blacktriangleright$ Zeitpunkt bestimmen, an dem sich erstmals Fahrzeuge stauen

Der Zeitpunkt entspricht der Stelle von $f(t)$ , an der $f(t)$ erstmals den Funktionswert 110 erreicht. Setze also den Term der Funktion $f$ mit 110 gleich.
Löse nach $t$ auf, um den gesuchten Zeitpunkt zu erhalten.

Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:

menu F5: G-Solve F5: ISCT

Bestätigen mit EXE liefert dir zwei verschiedene Resultate:

$t_0=2,54$
$t_1=21,86$

$\blacktriangleright$ Anzahl der Fahrzeuge ermitteln, die sich vor dem Übergang stauen

Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:

$\int_{t_0}^{t_1} f(t)-110\; \mathrm{d}t$

Dabei sind $t_0$ und $t_1$ die Schnittstellen der Funktion $f$ und der Gerdaden $y=110$ , die du zuvor bestimmt hast mit:

$t_0=2,54$
$t_1=21,86$

Den entsprechenden Befehl findest du unter

F2: G-Solve F6: F3: dx

Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an.

Der GTR liefert dir, dass sich maximal 2.325 Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

$\blacktriangleright$ Anzahl bei einer Abfertigungsrate von 220 Fahrzeugen pro Stunde

Diese Fläche entspricht weiterhin gerade der folgenden Differenz:

$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$

Bestimme die Schnittstelle $t_2$ der Funktion $f$ und der Geraden $z=220$ .
Berechne das Integral $\displaystyle\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$

1. Schritt: Schnittstelle $\boldsymbol{t_2}$ bestimmen

Um Schnittstellen von Graphen zu bestimmen, kannst du im Graph-Modus folgenden Befehl auswählen:

menu F5: G-Solve F5: ISCT

Bestätigen mit Enter liefert dir zwei verschiedene Resultate:

$t_2=15,9$
$t_3=5,2$

2. Schritt: Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge berechnen

Berechne also die Anzahl der sich anstauenden Fahrzeuge, indem du oben angeführtes Integral berechnest. Das Integral

$\int_{t_0}^{12} f(t)-110\; \mathrm{d}t + \displaystyle\int_{12}^{t_2} f(t)-220\; \mathrm{d}t$

kannst du mit Hilfe des GTR bestimmen.

Den entsprechenden Befehl findest du unter

MATH F6: F1: dx

Gib die Integrationsgrenzen und den Integranden an. Diesen erhältst du über die folgende Befehlsfolge:

VARS F4: GRPH F1: Y

Wähle in diesem Menü dann die entsprechende Funktion $Y_i$ aus, unter welcher du den Term von $f(t)$ abgespeichert hast.

Der GTR liefert dir, dass sich durch die Erhöhung ab der 12. Stunde auf 220 Fahrzeuge pro Stunde maximal $1.422,56+179,79 \approx 1.602$ Fahrzeuge am Grenzübergang anstauen.

Aufgabe 2.2

a) $\blacktriangleright$ Koordinaten des Extrempunktes angeben

Die Funktionenschar $f_a$ mit $0 < a$ und dem Definitionsbereich $\mathbb{D}=\{ x \in \mathbb{R} : -\pi < x < \pi \}$ ist durch folgenden Term definiert:

$f_{a}(x)=a \cdot \cos(x) - a^{2}$

Notwendige Bedingung: $f_a‘(x_E)=0$
Hinreichende Bedingung: $f_a‘‘(x_E) \neq 0$

1. Schritt: Notwendige Bedingung überprüfen

Um die notwendige Bedingung einer Extremstelle der Funktion $f_a$ zu überprüfen, benötigst du die erste Ableitungsfunktion der Funktion $f_a$ .

$\begin{array}{rll} f_a(x)&=&a \cdot \cos(x) - a^{2}&\scriptsize \\ f_a‘(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$

$\begin{array}{rll} 0&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize \mid\; :(-a)\\ 0&=&\sin(x)&\scriptsize \\ \end{array}$

2. Schritt: Hinreichende Bedingung überprüfen

$\begin{array}{rll} f_a‘(x)&=&- a \cdot \sin(x)&\scriptsize <br> f_a‘‘(x)&=&- a \cdot \cos(x)&\scriptsize <br> \end{array}$

Überprüfe nun, ob $f_a‘‘(x_E=0)\neq 0$ erfüllt wird:

$\begin{array}{rll} f_a‘‘(x_E=0)&=& - a \cdot \cos(0)&\scriptsize \\ &=& - a \cdot 1&\scriptsize \\ &=& -a \neq 0&\scriptsize \\ \end{array}$

3. Schritt: Koordinaten des Hochpunktes angeben

$\begin{array}{rll} f(x_E=0)&=&a \cdot \cos(0) - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a \cdot 1 - a^{2}&\scriptsize \\ &=& a - a^{2} &\scriptsize \\ \end{array}$

Die Koordinaten des Extrempunktes $E$ lauten $E(0 \mid a - a^{2} )$ .

b) $\blacktriangleright$ Punkte auf der $\boldsymbol{y}$ -Achse angeben

Laut Aufgabentext muss $0 < a$ gelten.
Der Extrempunkt besitzt die Koordinaten $E(0 \mid a - a^{2} )$ und stellt damit den Schnittpunkt mit der $y$ -Achse dar.

Betrachte die Hilfsfunktion $h$ mit dem Term $h(a)=a-a^2$ und der Bedingung $\boldsymbol{0 < a}$ .

Diese Hilfsfunktion gibt die $y$ -Koordinate des Schnittpunktes $E(0 \mid a - a^{2} )$ mit der $y$ -Achse in Abhängigkeit von $a$ an.

Lässt du die Hilfsfunktion in deinem GTR zeichnen, so kannst du erkennen, dass die Funktion $h$ nach unten nicht beschränkt ist.
Ihr Maximum kannst du ermitteln, indem du

menu F5: G-Solve F2: MAX

Du kannst also festhalten, dass der Graph der Funktionenschar $f_a$ die Punkte $P(0 \mid y)$ auf der $y$ -Achse nicht berührt, für die $0,25 < y$ gilt.

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