Lösung 1
Die gegebene Funktion ist eine verkettete Funktion. Es wird also die Kettenregel angewendet:
Lösung 2
Um das Integral zu berechnen, benötigst du eine Stammfunktion der Funktion

mit

.
Beachte den Hauptsatz der Integralrechnung.
Bilde also zunächst eine Stammfunktion

und berechne anschließend das Integral.
1. Schritt: Stammfunktion
Um eine Stammfunktion zu bilden, beachte, dass eine Stammfunktion von

die Funktion

ist und wende lineare Substitution an, da es sich bei

um eine Verkettung handelt:
2. Schritt: Integral berechnen
Lösung 3
Nach dem Satz vom Nullprodukt folgt:

,
Lösung 4
Aus den ersten beiden Gleichungen folgt

und

.

in

:

in

:
Lösung 5
Für diese Aufgabe ist es wichtig, dass du weißt, dass die erste Ableitungsfunktion

einer Funktion

die Steigung des Graphen von

beschreibt.
1)
Überprüfe hierzu, ob sowohl
notwendiges Kriterium als auch
hinreichendes Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt sind:
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass

bei

eine Nullstelle besitzt. Daher ist das notwendige Kriterium erfüllt.
Du kannst der Abbildung auch entnehmen, dass

für Werte kleiner als

negative Werte und für Werte direkt nach

positive Werte annimmt. Es liegt also ein
Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung von

zu

vor. Damit ist auch das hinreichende Kriterium für einen Tiefpunkt erfüllt.
Die erste Aussage ist wahr.
2)
Damit diese Aussage gilt, muss die Steigung zwischen den beiden Stellen

und

positiv sein.
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass der Graph von

in diesem Bereich oberhalb der

-Achse verläuft. Die Steigung ist also positiv.
Die zweite Aussage ist wahr.
3)
Der Abbildung kannst du entnehmen, dass

gilt.Zudem kannst du sehen, dass der Graph von

an der Stelle

einen Hochpunkt besitzt. Wegen des notwendigen Kriteriums für Hochpunkte muss also die zweite Ableitung

an dieser Stelle eine Nullstelle besitzen. Damit folgt:
Die dritte Aussage ist falsch.
4)
Du kannst sehen, dass der Graph von

mindestens zwei Extrempunkte besitzt. Dies bedeutet, dass

mindestens den Grad drei haben muss. Da

die Ableitung von

und damit auf jeden Fall einen Grad weniger besitzt, muss

mindestens den Grad vier haben.
Die vierte Aussage ist wahr.
Lösung 6
a)
Ein Dreieck ist gleichschenklig, wenn mindestens zwei der Seiten gleich lang sind. Um das zu zeigen, wird jeweils der Betrag der Verbindungsvektoren

,

und

berechnet:



Da

gilt, ist das Dreieck

gleichschenklig.
b)
Es gibt also drei mögliche Punkte, die das Dreieck

zu einem Parallelogramm ergänzen.

Der Punkt

ergänzt das Dreieck

zu einem Parallelogramm.
Lösung 7
a)
Schnittstellen bestimmen
Schnittstelle

-Achse:

, daraus folgt

, also
Schnittstelle

-Achse:
Da diese Gleichung keine Lösung besitzt, schneidet

die

-Achse nicht und liegt somit parallel zu dieser.
Schnittstelle

-Achse:

daraus folgt

also
Ebene darstellen
b)
Die

-Achse entspricht der Geraden mit der Gleichung

Jeder Punkt auf dieser Gerade hat die Koordinaten

Einsetzen dieser Punkte sowie einsetzen des Normalenvektors

von

in die Abstandsformel ergibt:

Der Abstand soll

betragen:
Daraus folgen zwei Gleichungen:
Die Punkte

und

liegen auf der

-Achse und haben von

den Abstand

.
Lösung 8
a)
- Bei jedem Dreh werden nur zwei Ergebnisse unterschieden: Es wird Rot angezeigt oder es wird nicht rot angezeigt.
- Da bei jedem Dreh das gleiche Glücksrad verwendet wird, ist die Wahrscheinlichkeit für Rot bei jedem Dreh gleich.
- Die Ergebnisse der einzelnen Drehungen sind voneinander abhängig.
b)
Das Gegenereignis wird betrachtet:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von

wird mindestens dreimal Rot angezeigt.
c)
Für die binomialverteilte Zufallsgröße

gilt

Für die verschiedenen Werte von

ergeben sich mit der zugehörigen Formel folgende Erwartungswerte:
Der Erwartungswert ist der Wert

mit der höchsten Wahrscheinlichkeit. In der Tabelle besitzt

die höchste Wahrscheinlichkeit. Also kann nur

der Tabelle zugrunde liegen.
Lösung 9
Sachverhalt skizzieren
Hier wird das Volumen eines
Rotationskörpers berechnet. Dieser entsteht durch Rotation des Graphen der Funktion

mit der Gleichung

um die

-Achse.
Skizziere also den Graphen dieser Funktion. Anhand der Skizze kannst du dann auch erkennen um was für einen Körper es sich handelt.
Es ergibt sich folgende Skizze:
Anhand der Skizze kannst du erkennen, dass es sich bei dem Körper, der durch die Rotation entsteht, um einen Kegel handelt. Die Spitze befindet sich an der Nullstelle von

im Punkt

. Da das Integral allerdings nur von

bis

geht, wird dadurch auch nur der Rotationskörper bis zur Gerade zu

beschrieben. Es entsteht also ein Kegelstumpf.