Der Laderaum eines Lastkahns ist 50 m lang. Sein Querschnitt ist auf der gesamten Länge gleich und wird modellhaft beschrieben durch den Graphen der Funktion $f$ mit

$f(x)=\dfrac{1}{125}x^4; -5\leq x\leq 5\quad$ ( $x$ und $f(x)$ in Meter).

Wie tief ist der Laderaum in der Mitte?
Wie breit ist er in $3\,$ m Höhe?
In welchem Bereich hat der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5%?
Berechne das Volumen des Laderaums.

(5P)

Zur Wartung steht der Lastkahn an Land auf einer ebenen Plattform. Dort wird er stabilisiert durch gerade Stützen, die orthogonal zur Außenwand des Laderaums angebracht sind. Betrachtet werden zwei einander gegenüberliegende Stützen, deren Befestigungspunkte im Modell durch die Punkte

$P_1(-4 \mid f(-4))$ und $P_2(4 \mid f(4))$ beschrieben werden.

In welchem Abstand voneinander enden diese Stützen auf der Plattform?

(3P)

Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 $\,$ m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt 500 $\,$ m³.
Berechne die Breite der Zwischendecke.

(4P)

Untersuche, ob sich eine zylinderförmige Röhre mit Außendurchmesser 9,8 $\,$ m soin Längsrichtung in den Laderaum legen lässt, dass sie ihn an der tiefsten Stelle berührt.

(3P)

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Tipps

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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Tiefe des Laderaums in der Mitte

Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass der Querschnitt des Laderaums eines Lastkahns modellhaft durch die Funktion $f$ beschrieben werden kann:

$f(x)= \dfrac{1}{125} \cdot x^4$ für $- 5 \leq x \leq 5$

Willst du nun bestimmen, wie tief der Laderaum in der Mitte ist, so betrachte den Definitionsbereich der Funktion $f$ .

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Bereichs mit einer Neigung unter 5 %

Hier ist der Bereich gesucht, in dem der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5 % besitzt.
Beachte hierbei, dass die Neigung des Laderaums durch die erste Ableitung der Funktion $f$ beschrieben werden kann. Diese gibt zu jeder Stelle $x$ die Steigung der Funktion $f$ an und folglich bestimmt diese die Neigung des Rumpfes.
Willst du diese Aufgabe lösen, so bestimme zuerst die Stellen, an welchen die Neigung gleich 5 % ist. An diesen Stellen muss dann gelten:

$f‘(x) = 0,05$

Bestimme dann mit diesen Stellen den gesuchten Bereich.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Volumens des Laderaums

Der Querschnitt des Laderaums ist auf der gesamten Länge gleich und wird durch den Graphen der Funktion $f$ beschrieben. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Laderaum des Lastkahns eine Länge von 50 m besitzt.
Deine Aufgabe ist es nun das Volumen des Laderaums zu berechnen.

Beim Laderaum handelt es sich also um einen Körper. Dieser Körper besitzt eine Grundfläche $A$ , in Form des Querschnitts des Laderaums und eine Länge von $l = 50\,\text{m}$ . Das Volumen berechnet sich dann über folgende Formel:

$V = A \cdot l$

Gehe wie folgt vor, um das Volumen $V$ des Laderaums zu berechnen:

Berechne den Flächeninhalt des Querschnitts. Verwende hierzu ein Integral und deinen GTR

Setze $A$ und $l$ in die Volumenformel ein und berechne das Volumen $V$

$\blacktriangleright$ Berechnen des Abstands der Stützen zueinander

Der Lastkahn steht zur Wartung auf einer ebenen Plattform an Land. Dort wird er durch gerade Stützen stabilisiert, die orthogonal zur Außenwand angebracht sind. Die Befestigungspunkte dieser Stützen sind:

$P_1 (-4 \mid f(-4))$

$P_2 (4 \mid f(4))$

Deine Aufgabe ist es nun, zu bestimmen, in welchem Abstand dieser Stützen voneinander auf der Plattform enden.
Willst du den Abstand berechnen, so musst du zunächst die Stützen durch Geraden beschreiben und über den Schnittpunkt dieser mit der $x$ -Achse den gesuchten Abstand berechnen.
Gehe dabei so vor:

Bestimme die Steigung der Geraden der Stütze zu $P_1$ über die Steigung der zugehörigen Normalen

Ermittle den $y$ -Achsenabschnitt über eine Punktprobe

Bestimme die Schnittstelle mit der $x$ -Achse und bestimme mittels der Symmetrie des Graphen von $f$ den gesuchten Abstand

$\blacktriangleright$ Berechnen der Breite der Zwischendecke

Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt dann 500 $\text{m}^3$ .
Deine Aufgabe ist es nun, die Breite $b$ der Zwischendecke zu berechnen. Fertige dir dazu zunächst eine Skizze an:

Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du hier mit einem Integral arbeiten. Dabei ist es vorteilhaft nur einen Teil der gesamten Fläche zu betrachten, denn diese lässt sich in zwei gleich große Flächenstücke zerteilen.
Willst du die Breite $b$ der Zwischendecke berechnen, so dir bekannt sein, an welcher Stelle $u$ diese am Graphen der Funktion $f$ anliegt. Gehe dazu so vor:

Bestimme den Flächeninhalt $A$ der Fläche, die die Zwischendecke mit $f$ einschließt

Stelle den Ansatz zur Berechnung des Flächeninhalts des halben Flächenstückes in Abhängigkeit von $u$ auf

Löse die Gleichung nach $u$ und berechne die gesuchte Breite mit Hilfe deines GTR

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob es möglich ist, dass Röhre die tiefste Stelle berührt

Nun sollst du untersuchen, ob sich eine zylinderförmige Röhre so in den Laderaum legen lässt, dass diese die tiefste Stelle des Laderaums bei $x_T = 0$ berührt.
Würde sich die Röhre bis zum tiefsten Punkt des Laderaums absenken lassen, so würde der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und jedem anderem Punkt auf dem Graphen von $f$ mindestens dem Radius $r$ der Röhre entsprechen.
Formuliere also den Abstand zwischen dem Mittelpunkt $M$ der Röhre und jedem Punkt auf dem Graphen von $f$ als Funktion einer unbekannten Stelle $u$ . Verwende dazu die Koordinaten von $M$ für den Fall, dass sich die Röhre komplett absenken lassen würde.
Kann dann eine Stelle gefunden werden, dessen Abstand zum Mittelpunkt $M$ kleiner als der Radius der Röhre ist, so hast du gezeigt, dass die Röhre nicht den tiefsten Punkt berühren kann.
Berechne also das Minimum der Abstandsfunktion. Stelle die Funktion über den folgenden Ansatz für die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten auf:

$d_{A,B} = \sqrt{(x_A - x_B)^2+(y_A - y_B)^2}$

und bestimme mit deinem GTR das Minimum dieser Funktion.

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Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Tiefe des Laderaums in der Mitte

Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass der Querschnitt des Laderaums eines Lastkahns modellhaft durch die Funktion $f$ beschrieben werden kann:

$f(x)= \dfrac{1}{125} \cdot x^4$ für $- 5 \leq x \leq 5$

Willst du nun bestimmen, wie tief der Laderaum in der Mitte ist, so betrachte den Definitionsbereich der Funktion $f$ .

Da mit $-5 \leq x \leq 5$ ein symmetrischer Definitionsbereich gegeben ist und da $f$ eine Funktion mit geraden Exponent ist, liegt die Mitte des Laderaums folglich an der Stelle $x_M = 0$ . Um die Tiefe zu bestimmen, musst du die Differenz zwischen den Funktionswerten von $f$ an den Stelle $x_M = 0$ und $x_1 = -5$ oder $x_2 = 5$ betrachten.

$\begin{array}[t]{rll} f(x_M = 0)&=& \dfrac{1}{125} \cdot 0^4 = 0 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} f(x_M = 5)&=& \dfrac{1}{125} \cdot 5^4 = 5 \end{array}$

Die Differenz zwischen den Funktionswerten beträgt 5. Daraus folgt, dass der Laderaum in der Mitte eine Tiefe von 5 m besitzt.

$\blacktriangleright$ Bestimmen der Breite des Laderaums in 3 m Höhe

Nun sollst du die Breite des Laderaums in 3 m Höhe bestimmen. Da $f(x_M) = 0$ gilt, bedeutet das, dass du die $x$ -Koordinaten zu $f(x_1) = 3$ und $f(x_2)= 3$ berechnen musst, um anhand dieser dann die Breite des Laderaums zu bestimmen.
Da es sich bei $f$ um eine gerade Funktion handelt und da für diese $f(x_M = 0) = 0$ gilt, ist es ausreichend den Funktionswert an einer dieser Stellen zu berechnen, um die Breite zu bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f(x_1) = 3&=& \dfrac{1}{125} \cdot x^4 \quad \scriptsize \mid\; \cdot 125\\[5pt] -375&=&x^4 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[4]{\,}\\[5pt] 4,4&=&x \end{array}$

Die Breite des Laderaums in 3 m Höhe beträgt also $b = 2 \cdot 4,4\,\text{m}=8,8\,m$

$\blacktriangleright$ Bestimmen des Bereichs mit einer Neigung unter 5 %

$f‘(x) = 0,05$

Bestimme dann mit diesen Stellen den gesuchten Bereich.

1. Schritt: Bestimmen der Ableitung von
$f$

Die erste Ableitung von $f$ kannst du hier mittels Faktorregel bestimmen.

$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{125} \cdot x^4 \\[5pt] f‘(x)&=& \dfrac{4}{125} \cdot x^3 \end{array}$

2. Schritt: Bestimmen der Stellen mit einer Neigung von 5 %

Setze nun den Funktionsterm von $f‘$ mit 0,05 gleich, um die Stellen mit einem Anstieg von 5 % zu bestimmen:

$\begin{array}[t]{rll} f‘(x)&=& 0,05 \\[5pt] 0,05&=& \dfrac{4}{125} \cdot x^3 \quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{125}{4}\\[5pt] 1,5625&=& x^3 \quad \scriptsize \mid\; \sqrt[3]{\;}\\[5pt] 1,16&=& x \end{array}$

Aufgrund der Symmetrie und der oben beschrieben Eigenschaften des Graphen von $f$ ergibt sich hier, dass der Laderaum bis zu 1,16 m links und 1,16 m rechts von der Mitte eine Neigung besitzt, die kleiner als 5 % ist.

$\blacktriangleright$ Berechnen des Volumens des Laderaums

$V = A \cdot l$

Gehe wie folgt vor, um das Volumen $V$ des Laderaums zu berechnen:

Berechne den Flächeninhalt des Querschnitts. Verwende hierzu ein Integral und deinen GTR

Setze $A$ und $l$ in die Volumenformel ein und berechne das Volumen $V$

1. Schritt: Bestimmen der Querschnittsfläche $A$

Der Querschnitt des Laderaums wird über den Graphen von $f$ im Bereich $-5 \leq x \leq 5$ beschrieben. Betrachte vor dem Integrieren den Graphen der Funktion $f$ im GRAPH Modus deines GTR:

Oben kannst du sehen, dass sich der Graph von $f$ im betrachteten Bereich oberhalb der $x$ -Achse befindet. Möchtest du nun die Querschnittsfläche berechnen, so berechne zunächst die Fläche eines Rechtecks mit der Höhe und der Breite des Querschnitts und subtrahiere von dieser dann das Integral über $f$ im Bereich $x_1 =-5$ und $x_2 = 5$ .
Das Integral über $f$ im betrachteten Bereich kannst du ebenfalls im GRAPH deines GTR berechnen:

2nd $\to$ CALC $\to$ 7: $\int$ f(x)dx

Mit dem GTR folgt:

Willst du nun den Flächeninhalt $A$ der Querschnittsfläche berechnen, so subtrahiere vom Flächeninhalt des oben beschriebenen Rechtecks die berechneten 10 $\text{m}^2$ ;

$\begin{array}[t]{rll} A&=&5\,\text{m}\cdot 10\,\text{m} - 10\,\text{m}^2 = 50\,\text{m}^2 - 10\,\text{m}^2 = 40\,\text{m}^2 \end{array}$

$A= 5\,\text{m}\cdot 10\,\text{m} - 10\,\text{m}^2$

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2. Schritt: Berechnen des Volumens $V$

Setze $A = 40\,\text{m}^2$ und $l = 50\,\text{m}$ in die Volumenformel ein, um das gesuchte $V$ zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&40\,\text{m}^2 \cdot 50\,\text{m} = 2.000\,\text{m}^3 \end{array}$

Der Laderaum besitzt ein Volumen von $2.000\,\text{m}^3$ .

$\blacktriangleright$ Berechnen des Abstands der Stützen zueinander

$P_1 (-4 \mid f(-4))$

$P_2 (4 \mid f(4))$

Bestimme die Steigung der Geraden der Stütze zu $P_1$ über die Steigung der zugehörigen Normalen

Ermittle den $y$ -Achsenabschnitt über eine Punktprobe

Bestimme die Schnittstelle mit der $x$ -Achse und bestimme mittels der Symmetrie des Graphen von $f$ den gesuchten Abstand

1. Schritt: Bestimmen der Geraden $g_1$ zur Stütze zu $P_1$

Dir ist bekannt, dass die Stütze am Punkt $P_1$ orthogonal zur Außenwand verläuft. Daraus folgt, dass die gesuchte Gerade $g_1$ der Normalen an den Graphen von $f$ im Punkt $P_1$ entspricht.
Die Steigung $m_1$ von $g_1$ kannst du mit diesem Zusammenhang

$m_1 = \dfrac{1}{- f‘(-4)}$

und der Ableitung $f‘$ von $f$ berechnen:

$\begin{array}[t]{rll}m_1&=& \dfrac{1}{- \left(\frac{4}{125} \cdot (-4)^3\right)} = \dfrac{1}{- \left(-2,048\right)} = 0,49\end{array}$

$m_1 = \dfrac{1}{- \left(\frac{4}{125} \cdot (-4)^3\right)}$

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Den $y$ -Achsenabschnitt der Geraden $g_1$ berechnest du über eine Punktprobe mit dem Punkt $P_1(-4 \mid f(-4))$ :

$\begin{array}[t]{rll} g_1(x)&=&0,49 \cdot x + b \\[5pt] g_1(-4)&=&0,49 \cdot (-4) + b \\[5pt] f(-4)&=&-1,96 + b \\[5pt] \dfrac{1}{125} \cdot (-4)^4&=&-1,96 + b \\[5pt] 2,048&=&-1,96 + b \quad \scriptsize \mid\; + 1,96\\[5pt] 4,008&=&b \end{array}$

$g_1(x)=0,49 \cdot x + b$

Vollständige Lösung anzeigen

Gerade $g_1$ ergibt sich also zu: $g_1(x) = 0,49 \cdot x + 4,008$

2. Schritt: Bestimmen des Schnittpunkts der Geraden $g_1$ mit der $x$ -Achse

Den Schnittpunkt von $g_1$ mit der $x$ - Achse bestimmst du, indem du den Funktionsterm von $g_1$ mit gleich Null setzt und die Gleichung nach $x$ auflöst:

$\begin{array}[t]{rll} g_1(x)&=&0 \\[5pt] 0&=& 0,49 \cdot x + 4,008\quad \scriptsize \mid\; -4,008\\[5pt] -4,008&=& 0,49 \cdot x\quad \scriptsize \mid\; :0,49\\[5pt] -8,16&\approx& x \end{array}$

$g_1(x)=0$

Vollständige Lösung anzeigen

$g_1$ schneidet also bei $x \approx -8,16$ die $x$ -Achse. Beachte wieder die Symmetrie des Graphen von $f$ um den Abstand $d$ zwischen den Stützen zu berechnen:

$\begin{array}[t]{rll} d&=& 2 \cdot \left|-8,16\right| = 16,32 \\[5pt] \end{array}$

Der Abstand zwischen den zwei Stützen ist 16,32 m

$\blacktriangleright$ Berechnen der Breite der Zwischendecke

Bestimme den Flächeninhalt $A$ der Fläche, die die Zwischendecke mit $f$ einschließt

Stelle den Ansatz zur Berechnung des Flächeninhalts des halben Flächenstückes in Abhängigkeit von $u$ auf

Löse die Gleichung nach $u$ und berechne die gesuchte Breite mit Hilfe deines GTR

1. Schritt: Bestimmen des Flächeninhalts $A$

Willst du berechnen, welchen Flächeninhalt $A$ die Zwischendecke mit dem Graphen von $f$ einschließt, so setze $l=50\,\text{m}$ und $V = 500\,\text{m}^3$ in die Volumenformel aus der Teilaufgabe a ein:

$\begin{array}[t]{rll} V&=&A \cdot l \quad \scriptsize \mid\;: l \\[5pt] A&=&\dfrac{500\,\text{m}^3}{50\,\text{m}} = 10\,\text{m}^2\\[5pt] \end{array}$

Der Flächeninhalt des betrachteten halben Flächenstücks ist also: $A_{2} = 5\,\text{m}^2$

2. Schritt: Bestimmen der gesuchten Breite

Analog zum Aufgabenteil a berechnet sich der Flächeninhalt der halben Fläche über eine Rechteckfläche und ein Integral über den Graphen von $f$ . Das hier betrachtete Rechteck besitzt dabei die Länge $u$ und die Höhe $f(u)$ . Das Integral über $f$ folglich die Grenzen 0, da nur die halbe Fläche betrachtet wird und $u$ .
Insgesamt ergibt sich damit für $A_2$ :

$A_2 = u \cdot f(u) - \displaystyle\int_{0}^{u} f(x) \mathrm dx$

Diese Gleichung gilt es nun nach $u$ zu lösen. Setze diese dazu mit $A_2 = 5$ gleich.
Stellst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite Null steht, so kannst du diese wie in den folgenden dargestellten Schritten mit deinem GTR lösen:

$\begin{array}[t]{rll} 5&=&u \cdot f(u) - \displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\;\mathrm dx \quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] 0&=&u \cdot f(u) - \displaystyle\int_{0}^{u} f(x)\;\mathrm dx - 5 \end{array}$

Übertrage nun den rechten Teil dieser Gleichung sowie den Funktionsterm von $f$ wie folgt in den Y= - Editor deines GTR:

Wechsle nun in den Graph-Modus und berechne über die gegebene Eingabenfolge die Nullstelle der Gleichung und so den Wert für $u$ :

menu CALC 2:Zero

Für $u$ ergibt sich also: $u \approx 3,79$
Die Breite $b$ der Zwischendecke beträgt folglich $b = 2 \cdot 3,79\,\text{m} \approx 7,6\,\text{m}$ .

$\blacktriangleright$ Untersuchen, ob es möglich ist, dass Röhre die tiefste Stelle berührt

$d_{A,B} = \sqrt{(x_A - x_B)^2+(y_A - y_B)^2}$

und bestimme mit deinem GTR das Minimum dieser Funktion.

1. Schritt: Bestimmen der Abstandsfunktion

Der Mittelpunkt $M$ der Röhre würde die Koordinaten $M(0 \mid 4,9)$ besitzen, wenn diese sich vollständig absenken lassen würde. Jeder Punkt auf dem Graphen von $f$ kann über über $(u \mid f(u))$ beschrieben werden.
Die Funktion $d$ lässt sich also wie folgt darstellen:

$d(u) = \sqrt{(u - 0)^2+(f(u) -4,9)^2} = \sqrt{u^2+(f(u) -4,9)^2}$

$d(u) = \sqrt{(u - 0)^2+(f(u) -4,9)^2}$ $...$

Vollständigen Rechenweg
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2. Schritt: Berechnen des Minimums

Übertrage nun wie den Funktionsterm von $d$ in den Y= Editor und greife ggf. über Vars auf den Funktionsterm von $f$ zu.

Wechsle nun in den Graphs-Modus und berechne das Minimum der Funktion:

2nd $\to$ CALC $\to$ 3:minimum

Da der minimale Abstand mit ungefähr 4,78 $\,$ m kleiner als der Radius mit 4,9 $\,$ m ist, berührt die Röhre nicht die tiefste Stelle bei $x_T = 0$ im Laderaum.