Bestimmen der Tiefe des Laderaums in der Mitte
Der Aufgabenstellung kannst du hier entnehmen, dass der Querschnitt des Laderaums eines Lastkahns modellhaft durch die Funktion

beschrieben werden kann:

für
Willst du nun bestimmen, wie tief der Laderaum in der Mitte ist, so betrachte den
Definitionsbereich der Funktion

.
Da mit

ein
symmetrischer Definitionsbereich gegeben ist und da

eine Funktion mit
geraden Exponent ist, liegt die Mitte des Laderaums folglich an der Stelle

. Um die Tiefe zu bestimmen, musst du die Differenz zwischen den Funktionswerten von

an den Stelle

und

oder

betrachten.
Die Differenz zwischen den Funktionswerten beträgt 5. Daraus folgt, dass der Laderaum in der Mitte eine Tiefe von 5 m besitzt.
Bestimmen der Breite des Laderaums in 3 m Höhe
Nun sollst du die Breite des Laderaums in 3 m Höhe bestimmen. Da

gilt, bedeutet das, dass du die

-Koordinaten zu

und

berechnen musst, um anhand dieser dann die Breite des Laderaums zu bestimmen.
Da es sich bei

um eine gerade Funktion handelt und da für diese

gilt, ist es ausreichend den Funktionswert an einer dieser Stellen zu berechnen, um die Breite zu bestimmen.
Die Breite des Laderaums in 3 m Höhe beträgt also
Bestimmen des Bereichs mit einer Neigung unter 5 %
Hier ist der Bereich gesucht, in dem der Boden des Laderaums eine Neigung unter 5 % besitzt.
Beachte hierbei, dass die Neigung des Laderaums durch die
erste Ableitung der Funktion

beschrieben werden kann. Diese gibt zu jeder Stelle

die Steigung der Funktion

an und folglich bestimmt diese die Neigung des Rumpfes.
Willst du diese Aufgabe lösen, so bestimme zuerst die Stellen, an welchen die Neigung gleich 5 % ist. An diesen Stellen muss dann gelten:
Bestimme dann mit diesen Stellen den gesuchten Bereich.
1. Schritt: Bestimmen der Ableitung von
Die erste Ableitung von

kannst du hier mittels
Faktorregel bestimmen.
2. Schritt: Bestimmen der Stellen mit einer Neigung von 5 %
Setze nun den Funktionsterm von

mit 0,05 gleich, um die Stellen mit einem Anstieg von 5 % zu bestimmen:
Aufgrund der Symmetrie und der oben beschrieben Eigenschaften des Graphen von

ergibt sich hier, dass der Laderaum bis zu 1,16 m links und 1,16 m rechts von der Mitte eine Neigung besitzt, die kleiner als 5 % ist.
Berechnen des Volumens des Laderaums
Der Querschnitt des Laderaums ist auf der gesamten Länge gleich und wird durch den Graphen der Funktion

beschrieben. Weiterhin kannst du der Aufgabenstellung entnehmen, dass der Laderaum des Lastkahns eine
Länge von 50 m besitzt.
Deine Aufgabe ist es nun das
Volumen des Laderaums zu berechnen.
Beim Laderaum handelt es sich also um einen Körper. Dieser Körper besitzt eine Grundfläche

, in Form des Querschnitts des Laderaums und eine Länge von

. Das Volumen berechnet sich dann über folgende Formel:
Gehe wie folgt vor, um das Volumen

des Laderaums zu berechnen:
- Berechne den Flächeninhalt des Querschnitts. Verwende hierzu ein Integral und deinen GTR
- Setze
und
in die Volumenformel ein und berechne das Volumen 
1. Schritt: Bestimmen der Querschnittsfläche
Der Querschnitt des Laderaums wird über den Graphen von

im Bereich

beschrieben. Betrachte vor dem Integrieren den
Graphen der Funktion 
im
GRAPH Modus deines GTR:
Oben kannst du sehen, dass sich der
Graph von

im betrachteten Bereich
oberhalb der

-Achse befindet. Möchtest du nun die Querschnittsfläche berechnen, so berechne zunächst die Fläche eines Rechtecks mit der Höhe und der Breite des Querschnitts und subtrahiere von dieser dann das Integral über

im Bereich

und

.
Das Integral über

im betrachteten Bereich kannst du ebenfalls im
GRAPH deines GTR berechnen:
Mit dem GTR folgt:
Willst du nun den Flächeninhalt

der Querschnittsfläche berechnen, so subtrahiere vom Flächeninhalt des oben beschriebenen Rechtecks die berechneten 10

;

2. Schritt: Berechnen des Volumens
Setze

und

in die Volumenformel ein, um das gesuchte

zu berechnen:
Der Laderaum besitzt ein Volumen von

.
Berechnen des Abstands der Stützen zueinander
Der Lastkahn steht zur Wartung auf einer ebenen Plattform an Land. Dort wird er durch gerade Stützen stabilisiert, die orthogonal zur Außenwand angebracht sind. Die Befestigungspunkte dieser Stützen sind:
Deine Aufgabe ist es nun, zu bestimmen, in welchem
Abstand dieser Stützen voneinander auf der Plattform enden.
Willst du den Abstand berechnen, so musst du zunächst die Stützen durch Geraden beschreiben und über den Schnittpunkt dieser mit der

-Achse den gesuchten Abstand berechnen.
Gehe dabei so vor:
- Bestimme die Steigung der Geraden der Stütze zu
über die Steigung der zugehörigen Normalen
- Ermittle den
-Achsenabschnitt über eine Punktprobe
- Bestimme die Schnittstelle mit der
-Achse und bestimme mittels der Symmetrie des Graphen von
den gesuchten Abstand
1. Schritt: Bestimmen der Geraden
zur Stütze zu
Dir ist bekannt, dass die Stütze am Punkt
orthogonal zur Außenwand verläuft. Daraus folgt, dass die gesuchte Gerade

der Normalen an den Graphen von

im Punkt

entspricht.
Die Steigung

von

kannst du mit diesem Zusammenhang
und der Ableitung

von

berechnen:
Den

-Achsenabschnitt der Geraden

berechnest du über eine Punktprobe mit dem Punkt

:
Gerade

ergibt sich also zu:
2. Schritt: Bestimmen des Schnittpunkts der Geraden
mit der
-Achse
Den Schnittpunkt von

mit der

-
Achse bestimmst du, indem du den Funktionsterm von

mit gleich Null setzt und die Gleichung nach

auflöst:

schneidet also bei

die

-Achse. Beachte wieder die Symmetrie des Graphen von

um den Abstand

zwischen den Stützen zu berechnen:
Der Abstand zwischen den zwei Stützen ist 16,32 m
Berechnen der Breite der Zwischendecke
Der Laderaum kann durch eine horizontale Zwischendecke der Länge 50 m in zwei Teilräume geteilt werden. Das Volumen des unteren Teilraums beträgt dann 500

.
Deine Aufgabe ist es nun, die
Breite 
der Zwischendecke zu berechnen. Fertige dir dazu zunächst eine Skizze an:
Willst du diese Aufgabe lösen, so musst du hier mit einem
Integral arbeiten. Dabei ist es vorteilhaft nur einen Teil der gesamten Fläche zu betrachten, denn diese lässt sich in zwei gleich große Flächenstücke zerteilen.
Willst du die Breite

der Zwischendecke berechnen, so dir bekannt sein, an welcher Stelle

diese am Graphen der Funktion

anliegt. Gehe dazu so vor:
- Bestimme den Flächeninhalt
der Fläche, die die Zwischendecke mit
einschließt
- Stelle den Ansatz zur Berechnung des Flächeninhalts des halben Flächenstückes in Abhängigkeit von
auf
- Löse die Gleichung nach
und berechne die gesuchte Breite mit Hilfe deines GTR
1. Schritt: Bestimmen des Flächeninhalts
Willst du berechnen, welchen Flächeninhalt

die Zwischendecke mit dem Graphen von

einschließt, so setze

und

in die Volumenformel aus der Teilaufgabe a ein:
Der Flächeninhalt des betrachteten halben Flächenstücks ist also:
2. Schritt: Bestimmen der gesuchten Breite
Analog zum Aufgabenteil a berechnet sich der Flächeninhalt der halben Fläche über eine Rechteckfläche und ein Integral über den Graphen von

. Das hier betrachtete Rechteck besitzt dabei die Länge

und die Höhe

. Das Integral über

folglich die Grenzen 0, da nur die halbe Fläche betrachtet wird und

.
Insgesamt ergibt sich damit für

:
Diese Gleichung gilt es nun nach

zu lösen. Setze diese dazu mit

gleich.
Stellst du die Gleichung so um, dass auf einer Seite Null steht, so kannst du diese wie in den folgenden dargestellten Schritten mit deinem GTR lösen:
Übertrage nun den rechten Teil dieser Gleichung sowie den Funktionsterm von

wie folgt in den
Y= - Editor deines GTR:
Wechsle nun in den
Graph-Modus und berechne über die gegebene Eingabenfolge die Nullstelle der Gleichung und so den Wert für

:
menu
CALC
2:Zero
Für

ergibt sich also:
Die Breite

der Zwischendecke beträgt folglich

.
Untersuchen, ob es möglich ist, dass Röhre die tiefste Stelle berührt
Nun sollst du untersuchen, ob sich eine zylinderförmige Röhre so in den Laderaum legen lässt, dass diese die tiefste Stelle des Laderaums bei

berührt.
Würde sich die Röhre bis zum tiefsten Punkt des Laderaums absenken lassen, so würde der Abstand zwischen dem Mittelpunkt und jedem anderem Punkt auf dem Graphen von

mindestens dem Radius

der Röhre entsprechen.
Formuliere also den Abstand zwischen dem Mittelpunkt

der Röhre und jedem Punkt auf dem Graphen von

als Funktion einer unbekannten Stelle

. Verwende dazu die Koordinaten von

für den Fall, dass sich die Röhre komplett absenken lassen würde.
Kann dann eine Stelle gefunden werden, dessen Abstand zum Mittelpunkt

kleiner als der Radius der Röhre ist, so hast du gezeigt, dass die Röhre nicht den tiefsten Punkt berühren kann.
Berechne also das
Minimum der Abstandsfunktion. Stelle die Funktion über den folgenden Ansatz für die Berechnung des Abstands zwischen zwei Punkten auf:
und bestimme mit deinem GTR das Minimum dieser Funktion.
1. Schritt: Bestimmen der Abstandsfunktion
Der Mittelpunkt

der Röhre würde die Koordinaten

besitzen, wenn diese sich vollständig absenken lassen würde. Jeder Punkt auf dem Graphen von

kann über über

beschrieben werden.
Die Funktion

lässt sich also wie folgt darstellen:
2. Schritt: Berechnen des Minimums
Übertrage nun wie den Funktionsterm von

in den
Y= Editor und greife ggf. über
Vars auf den Funktionsterm von

zu.
Wechsle nun in den
Graphs-Modus und berechne das Minimum der Funktion:
2nd
CALC
3:minimum
Da der minimale Abstand mit ungefähr 4,78

m kleiner als der Radius mit 4,9

m ist, berührt die Röhre nicht die tiefste Stelle bei

im Laderaum.