Aufgabe 2.1
a)
Bestimmen der geringsten Sterberate
Die Sterberate der Population wird durch

mit
beschrieben. Du sollst die
geringste Sterberate bestimmen.
Da

die Sterberate der Population in Abhängigkeit vom Zeitpunkt

beschreibt, liegt die geringste Sterberate beim
Minimum von

vor. Bestimme also das Minimum von

. Verwende dazu deinen GTR.
Übertrage zunächst den Funktionsterm von

in den
Graph-Editor und berechne wie unten das Minimum von

:
SHIFT
G-Solv
MIN
Die geringste Sterberate beträgt 600 Individuen pro Jahr.
Bestimmen der größten Differenz zwischen Geburten- und Sterberate
Die Geburtenrate wird durch die Funktion

mit:
beschrieben. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten war, so bestimmst du die Stelle, an welcher die Funktionswerte von

und

sich
maximal unterscheiden.
Bilde dazu eine
Differenzfunktion und bestimme mit deinem GTR die Maximalstelle dieser Funktion.
Da die gegenseitge Lage der Graphen von

und

nicht bekannt ist, lautet die Differenzfunktion

:
Übertrage den Funktionsterm wie oben in deinen GTR und berechne so die gesuchte Stelle:
SHIFT
G-Solv
MAX
Es ergibt sich:

.
Im Jahr 1975 war die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate am größten.
Bestimmen des Zeitraums in dem die Population zugenommen hat
Die Population nimmt dann zu, wenn die Differenz zwischen Geburten und Sterberate
positiv ist. Definiere also eine Funktion

, die diesen Sachverhalt beschreibt:
Der Zeitraum indem die Population zugenommen hat kannst du bestimmen, indem du den Bereich bestimmst, indem der Graph von

oberhalb der

-Achse verläuft. Betrachte dazu den Graphen von

im GTR und bestimme die Nullstellen.
Übertrage den Funktionsterm wie oben in deinen GTR und berechne den gesuchten Zeitraum wie folgt:
SHIFT
G-Solv
ROOT
Es ergibt sich also:

und
Die Bevölkerung hat im Zeitraum zwischen 1963 und 2005 zugenommen.
b)
Berechnen des Bestands der Population zu Beginn des Jahres 2017
Sowohl Funktion

also auch Funktion

beschreiben
Änderungsraten. Der Bestand berechnet folglich über ein
Integral.
Beachte hier, dass die Anzahl an Individuen wie oben durch die Differenz zwischen Geburten- und Sterberate definiert wird. Integriere also über

und denke an den Anfangsbestand von 20.000.
Verwende beim Berechnen deinen GTR.
Integriere über

im Bereich

und

, da 1960 den Zeitpunkt

beschreibt. Verwende dazu wie im folgenden Schaubild den Graphs-Modus deines GTR:
Es ergibt sich

. Mit einem Anfangsbestand von 20.000 Individuen ergibt sich der der Bestand der Population im Jahre 2017 zu:
Population 2017

Individuen.
Bestimmen des gesuchten Jahres
Zu Beginn des Jahres 1960 bestand die Population aus 20.000 Individuen. Willst du bestimmen, in welchem Jahr die Population erstmal wieder den Bestand von 1960 erreichte, so gehe wie oben vor.
Oben haben wir mit dem Anfangsbestand und einem Integral über

die Population im Jahr 2017 berechnet. Hier sollst du nun zum Bestand von 20.000 das entsprechende Jahr berechnen.
Für das Integral bedeutet dies, dass die obere Integrationsgrenze
unbekannt ist:
Diese Gleichung gilt es nun zu lösen. Mit

hast du dann das gesuchte Jahr ermittelt. Verwende zum Lösen auch hier wieder deinen GTR.
Willst du die Gleichung mit deinem GTR lösen, so stellst du diese so um, dass auf der linken Seite lediglich eine
Null steht:
Übertrage diese Gleichung in den
Graph-Editor deines GTR.
Wechsle in den
Graphs-Modus und bestimme die
Nullstelle des Graphen.
SHIFT
G-Solv
ROOT
Für

ergibt sich:

.
Daraus folgt, dass die Population erstmals im Jahr 1966 wieder einen Bestand von 20.000 erreichte.
c)
Bestimmen der gesuchten Gleichung
Deine Aufgabe ist es nun, das Größenwachstum eines einzelnen Individuum mit einer Formel zu beschreiben.
Folgende Angaben kannst du dazu der Aufgabenstellung entnehmen:
- Es liegt ein beschränktes Wachstum vor
- Ausgewachsen ist das Individuum 0,8
m groß
- Zum Zeitpunkt
ist das Individuum 0,5
m groß
- Seine Wachstumsgeschwindigkeit beträgt 0,15
m pro Jahr
Da beschränktes Wachstum vorliegt, verwendest du hier die zugehörige
Differenzialgleichung:

beschreibt die
maximale Größe des Individuums. Es gilt also

.
Mit der Anfangsgröße

sowie der Wachstumsgeschwindigkeit

zum Zeitpunkt

ergibt sich folgende Gleichung:
Eingesetzt in
ergibt sich:
Der hier gesuchte Funktionsterm ist:

.
Berechnen der Anzahl der Jahre
Die anfängliche Körpergröße des betrachteten Individuums beträgt 0,5

m. Nimmt diese um 50

% zu, so wächst das Individuum um

.
Du musst folglich den Zeitpunkt

berechnen, an welchem das Individuum eine Körpergröße von

besitzt. Setze dazu

mit 0,75 gleich und löse nach

.
Es ergibt sich hier:
Nach ca. 3,6 Jahren nach Beobachtungsbeginn hat die Körpergröße des Individuums um 50

% zugenommen.
Aufgabe 2.2
Bestimmen der Anzahl der gemeinsamen Schnittpunkte
Beim Lösen dieser Aufgabe empfiehlt es sich, eine Skizze zum Sachverhalt zu erstellen:
In der Skizze oben siehst du, dass hier insgesamt
4 Fälle zu unterscheiden sind, wenn du die Anzahl der gemeinsamen Punkte in Abhängigkeit des Radius bestimmen möchtest:
- Der Kreis und der Graph von
haben keinen Schnittpunkt (siehe
)
- Der Kreis und der Graph von
haben zwei Schnittpunkte (siehe
)
- Der Kreis und der Graph von
haben drei Schnittpunkte (siehe
)
- Der Kreis und der Graph von
haben vier Schnittpunkte (siehe
)
Betrachte nun die Fälle im Einzelnen und bestimme, was für den Radius

gelten muss, damit diese eintreten. Beachte dabei die jeweiligen
Abstände des Graphen von

zum Mittelpunkt

. Verwende dazu folgende Formel für den Abstand zwischen zwei Punkten

und

:
1. Fall: Der Kreis und der Graph von
haben zwei Schnittpunkte
Da der Graph von

offensichtlich
achsensymmetrisch ist, schneiden sich der Graph von

und der Kreis um

in zwei Punkten da, wo der Abstand zwischen dem Graphen von

und dem Punkt
minimal ist.
Definiere den Abstand

zwischen dem Graphen von

und

als Funktion in Abhängigkeit von

und bestimme mit deinem GTR, den gesuchten minimalen Abstand

:
SHIFT
G-Solv
MIN
Der minimale Abstand zwischen dem Graphen von

und dem Mittelpunkt

beträgt also

. Das heißt für

schneidet der Kreis um

den Graphen von

in genau zwei Punkten.
Der Skizze oben kannst du entnehmen, dass der Kreis auch für Radien, die größer sind als der Abstand zwischen

und dem Schnittpunkt des Graphen von

mit der

-Achse, den Graphen von

in zwei Punkten schneidet. D.h. für Radien, die größer sind als
schneidet der Kreis um

den Graphen von

ebenfalls in zwei Punkten.
2. Fall: Der Kreis und der Graph von
haben keinen Schnittpunkt
Keinen Schnittpunkt besitzen der Graph von

und der Kreis um

, wenn der Radius kleiner als der minimale Abstand zwischen

und dem Graphen von

ist. Es muss in diesem Fall

gelten.
3. Fall: Der Kreis und der Graph von
haben vier Schnittpunkte
Vier Schnittpunkte besitzt der Graph von

und der Kreis um

, wenn der Radius des Kreises größer als der minimale Abstand und kleiner als der Abstand zwischen

und dem Schnittpunkt von

mit der

-Achse ist.
Für den Radius muss in diesem Fall gelten:

.
4. Fall: Der Kreis und der Graph von
haben drei Schnittpunkte
Drei Schnittpunkte besitzen beide nur dann, wenn der Radius

genau dem Abstand zwischen

und dem Schnittpunkt des Graphen von

mit der

-Achse entspricht.
Hier gilt dann:
Zusammengefasst bedeutet das:
Anz. Schnittpunkte | Radius |
0 |  |
2 | und  |
3 |  |
4 |  |