Aufgabe 2.1
a)
Schnittpunkt bestimmen
Du hast hier folgendes gegeben:
Die Gerade

mit der Gleichung

und die Ebene

mit der Ebenengleichung in Koordinatenform

.
Den
Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, deren Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, kannst du wie folgt bestimmen:
- Lies die Koordinaten der Punkte auf der Geraden zeilenweise aus der Geradengleichung ab
- Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach
auf
- Setze den berechneten Wert für
in die Geradengleichung ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunktes
1. Schritt: Koordinaten ablesen
Die Koordinaten der Punkte, die auf der Gerade

liegen, ergeben sich, indem man jede „Zeile“ einzeln abliest:

,

und
2. Schritt: Koordinaten einsetzen und Gleichung lösen
3. Schritt: Ortsvektor berechnen
Setze nun

in die Geradengleichung ein, so erhältst du folgendes:
Damit hat der Schnittpunkt der Geraden

und der Ebene

die Koordinaten

.
Orthogonale Gerade bestimmen
Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander liegen.
Zwei Vektoren sind dabei orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt

ergibt :
Du kannst nun in diese Gleichung die Richtungsvektoren der Geraden

und der Geraden

einsetzen. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von

. Löst du diese Gleichung, so hast du die Werte für

, für welche die Geraden

orthogonal zu

sind.
Die Gerade

ist orthogonal zu

.
b)
Schnittwinkel berechnen
Setze den Richtungsvektor der Geraden und einen Normalenvektor der Ebene in die Formel für den Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Gerade ein.
Im vorliegenden Fall erigbt sich folgendes:

und
Der Schnittwinkel zwischen

und

beträgt ca.

.
Wert für
bestimmen
Nun sollst du alle Werte für

bestimmen, für die

und

den Schnittwinkel

haben, dabei sollen aber nur Werte zwischen

und

betrachtet werden.
Du kannst dazu die Formel von oben verwenden und dort wieder den Normalenvektor von

zusammen mit dem Richtungsvektor der Geradenschar einsetzen.
Setzt du für

ein, so erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von

, die du lösen kannst.
Setze also nun

und

und

in die Gleichung zur Winkelberechnung ein und forme soweit um, bis du ein Nullstellenproblem einer Funktion

erhältst. Dieses kannst du dann mit deinem GTR lösen, indem du dir den Graphen dieser Funktion im Graph-Menü anzeigen lässt und anschließend über folgenden Befehl die Nullstellen im vorgegebenen Intervall bestimmst:
2ND
TRACE(CALC)
2: zero
2ND
TRACE(CALC)
2: zero
Für

und

hat der Schnittwinkel von

und

die Weite

.
c)
Lage der Geraden begründen
Du sollst nun begründen, dass alle Geraden

in der Ebene

mit der Gleichung

liegen.
Überlege dir dazu, zunächst was an der Ebene

besonders ist und betrachte dann die entsprechenden Koordinaten in der Geradengleichung.
Dir sollte auffallen, dass in

nur die

-Koordinate Bedeutung hat. In der Ebene liegen also alle Punkte, die die

-Koordinate

besitzen.
Außerdem kannst du sehen, dass der letzte Eintrag des Richtungsvektors von

ist und der Stützvektor den letzten Eintrag

hat. Damit haben also alle Punkte auf den Geraden

die

-Koordinate

und liegen somit in

.
Geradengleichung bestimmen
Du sollst nun eine Gleichung der Geraden

finden.
Geradengleichungen haben allgemein folgende Form:
Dabei ist

der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und

ein Richtungsvektor.
Ein Punkt, der auf

liegen soll, ist in der Aufgabenstellung mit

gegeben. Nun ist noch ein Richtungsvektor gesucht.
Beachte dabei, dass die

-Koordinate erhalten bleiben soll und der Richtungsvektor nicht
linear abhängig zum Richtungsvektor von

sein darf.
Zwei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist:

, für ein

.
Daraus, dass die

-Koordinate von allen Punkten auf

bleiben soll, erhält man automatisch, dass der Richtungsvektor von

die Form

hat.
Nun müssen noch

und

gefunden werden, so dass

und

nicht linear abhängig sind. Beachte dabei, dass

jeden reellen Wert annehmen kann.
Findest du keine Werte für

und

durch Ausprobieren, dann kannst du dir auch die Gleichungen aufschreiben, die sich aus einer linearen Abhängigkeit ergeben würden:

und

.
Setzt du nun

, so kann die zweite Gleichung dort niemals erfüllt werden. Für

kannst du dann einen beliebigen Wert wählen.
Insgesamt ergibt sich beispielsweise die folgende Geradengleichung für

:
Aufgabe 2.2
a)
Wahrscheinlichkeit berechnen
Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft.
Wir betrachten dazu die Zufallsvariable

, die die Anzahl an Treffern des Athleten in fünf Schüssen beschreibt.
Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern

und

angenommen werden, da die Schüsse unabhängig voneinander sind, die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Schuss gleich ist und es nur die beiden möglichen Ergebnisse
„ trifft“ oder „trifft nicht“ bei jedem Schuss gibt.
Gesucht ist also folgende Wahrscheinlichkeit:
Diese kannst du mit dem binompdf-Befehl deines GTR berechnen.
Diesen findest du unter
2ND
VARS(DISTR)
A: binompdf
2ND
VARS(DISTR)
A: binompdf
Dort musst du nun die Parameter

,

und

der Reihe nach eingeben.
Es gilt also

.
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca.

trifft der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal.
b)
Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde berechnen
Da der Athlet für jeden Fehlschuss eine Strafrunde laufen muss, setzt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet höchstens eine Strafrunde läuft wie folgt zusammen:
Berechne also diese Wahrscheinlichkeiten einzeln mit Hilfe der Binomialverteilung wie oben. Führe dazu geeignete Zufallsvariablen ein:

beschreibe die zufällige Anzahl der Fehlschüsse im Durchgang nach der ersten Runde. Dann ist

aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parameter

und

.

beschreibe die zufällige Anzahl der Fehlschüsse im Durchgang nach der zweiten Runde. Dann ist

ebenfalls binomialverteilt mit den Parametern

und

.
Gesucht sind dann nun

,

,

und

.
Berechne diese wie oben mit deinem GTR:
Damit ergibt sich dann insgesamt folgendes Ergebnis:
Mit einer Wahrscheinlichkeit von

muss der Athlet höchstens eine Strafrunde laufen.
c)
Neue Trefferwahrscheinlichkeit berechnen
Die Wahrscheinlichkeit im Durchgang, in dem stehend geschossen wird, mindestens viermal zu treffen soll mindestens

betragen. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür höchstens einmal nicht zu treffen.
Betrachten wir hier nun die neue Zufallsvariable

, die die Anzahl der Fehlschüsse im stehenden Durchgang beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit

und unbekanntem

. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann zu

.
Es soll also gelten:
Mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung, erhältst du eine Ungleichung in Abhängigkeit von

. Löse diese nach

auf, um die neue Trefferwahrscheinlichkeit zu ermitteln:
Damit ergibt sich nun:
Du kannst nun die linke Seite der Ungleichung als Funktion auffassen, und deren Nullstellen wie oben mit deinem GTR berechnen.
Damit ergibt sich folgende Einschränkung für

:
Wesentlich ist dabei nur

, da negative Wahrscheinlichkeiten keinen Sinn ergeben. Diese Ungleichung kannst du wiederum umformen, um eine Aussage über

zu erhalten:
Der Athlet muss eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens

erreichen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens

mindestens vier von fünf Schüssen zu treffen.