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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen

Du hast hier folgendes gegeben:

Die Gerade $g_4$ mit der Gleichung $g_4: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix} + t\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}$ und die Ebene $E$ mit der Ebenengleichung in Koordinatenform $E: 3x_1 + 6x_2 + 4x_3 = 16$ .

Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, deren Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, kannst du wie folgt bestimmen:

Lies die Koordinaten der Punkte auf der Geraden zeilenweise aus der Geradengleichung ab

Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach $t$ auf

Setze den berechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunktes

$\blacktriangleright$ Orthogonale Gerade bestimmen

Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander liegen. Zwei Vektoren sind dabei orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt, wenn also folgende Gleichung gilt:

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} = x_1y_1 +x_2y_2 +x_3y_3 = 0$

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$ $= x_1y_1 +x_2y_2 +x_3y_3 = 0$

Du kannst nun in diese Gleichung die Richtungsvektoren der Geraden $g_4$ und der Geraden $g_a$ einsetzen. Dadurch erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $a$ . Löst du diese Gleichung, so hast du die Werte für $a$ , für welche die Geraden $g_a$ orthogonal zu $g_4$ sind.

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel berechnen

Den Schnittwinkel $\alpha$ zwischen einer Gerade $g$ und einer Ebene $E$ lässt sich allgemein über folgende Formel berechnen:

$\sin(\alpha) = \dfrac{\left|\overrightarrow{r}\circ \overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{r}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$

Dabei ist $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor von $g$ und $\overrightarrow{n}$ ein Normalenvektor von $E$ , also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht. Einen solchen kannst du aus der Koordinatengleichung der Ebene direkt ablesen. Den Betrag eines Vektors $\overrightarrow{x}$ kannst du über folgende Formel berechnen:

$\left|\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\right| = \sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$

$\blacktriangleright$ Wert für $a$ bestimmen

Nun sollst du alle Werte für $a$ bestimmen, für die $g_a$ und $E$ den Schnittwinkel $10^{\circ}$ haben, dabei sollen aber nur Werte zwischen $-10$ und $10$ betrachtet werden. Du kannst dazu die Formel von oben verwenden und dort wieder den Normalenvektor von $E$ zusammen mit dem Richtungsvektor der Geradenschar einsetzen. Setzt du für $\alpha = 10^{\circ}$ ein, so erhältst du eine Gleichung in Abhängigkeit von $a$ , die du lösen kannst. Setze also nun $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{r_a} = \begin{pmatrix}a\\1\\0 \end{pmatrix}$ und $\alpha = 10^{\circ}$ in die Gleichung zur Winkelberechnung ein und forme soweit um, bis du ein Nullstellenproblem einer Funktion $f(a)$ erhältst. Dieses kannst du dann mit deinem GTR lösen.

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden begründen

Du sollst nun begründen, dass alle Geraden $g_a$ in der Ebene $F$ mit der Gleichung $F: x_3 =1$ liegen. Überlege dir dazu, zunächst was an der Ebene $F$ besonders ist und betrachte dann die entsprechenden Koordinaten in der Geradengleichung.

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Du sollst nun eine Gleichung der Geraden $h$ finden. Geradengleichungen haben allgemein folgende Form:

$g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \overrightarrow{r}$

Dabei ist $\overrightarrow{OP}$ der Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden und $\overrightarrow{r}$ ein Richtungsvektor. Ein Punkt, der auf $h$ liegen soll, ist in der Aufgabenstellung mit $P(5\mid\, 1\mid\, 1)$ gegeben. Nun ist noch ein Richtungsvektor gesucht. Beachte dabei, dass die $x_3$ -Koordinate erhalten bleiben soll und der Richtungsvektor nicht linear abhängig zum Richtungsvektor von $g_a$ sein darf.

Zwei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist: $t\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}$ , für ein $t \in \mathbb{R}$ .

Aufgabe B 2.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

Du sollst nun die Wahrscheinlichkeit dafür berechnen, dass der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal trifft. Wir betrachten dazu die Zufallsvariable $X$ , die die Anzahl an Treffern des Athleten in fünf Schüssen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit den Parametern $n =5$ und $p=0,88$ angenommen werden, da die Schüsse unabhängig voneinander sind, die Trefferwahrscheinlichkeit bei jedem Schuss gleich ist und es nur die beiden möglichen Ergebnisse „ trifft“ oder „trifft nicht“ bei jedem Schuss gibt.
Gesucht ist also folgende Wahrscheinlichkeit:

$P(X = 4)$

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde berechnen

Da der Athlet für jeden Fehlschuss eine Strafrunde laufen muss, setzt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet höchstens eine Strafrunde läuft wie folgt zusammen:

$\begin{array}[t]{rll} \scriptsize P(\text{„Höchstens 1 Strafrunde “})&=&\scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang ein Fehlschuss “}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss “}) \quad \scriptsize \\[5pt] &+& \scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss “}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang ein Fehlschuss “})\quad \scriptsize \\[5pt] &+&\scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss “}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss “}) \quad \scriptsize \\ \end{array}$

$P(\text{„Höchstens 1 Strafrunde “})= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Berechne also diese Wahrscheinlichkeiten einzeln mit Hilfe der Binomialverteilung wie oben. Führe dazu geeignete Zufallsvariablen ein.

$\blacktriangleright$ Neue Trefferwahrscheinlichkeit berechnen

Die Wahrscheinlichkeit im Durchgang, in dem stehend geschossen wird, mindestens viermal zu treffen soll mindestens $95\,\%$ betragen. Dies entspricht genau der Wahrscheinlichkeit dafür höchstens einmal nicht zu treffen.
Betrachten wir hier nun die neue Zufallsvariable $W$ , die die Anzahl der Fehlschüsse im stehenden Durchgang beschreibt, so ist diese binomialverteilt mit $n =5$ und unbekanntem $p$ . Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ergibt sich dann zu $p_0 = 1-p$ .
Es soll also gelten:

$P(W \leq 1) \geq 0,95$

Mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung, erhältst du eine Ungleichung in Abhängigkeit von $p$ . Löse diese nach $p$ auf, um die neue Trefferwahrscheinlichkeit zu ermitteln:

$P(X = k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen

Du hast hier folgendes gegeben:

Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, deren Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, kannst du wie folgt bestimmen:

Lies die Koordinaten der Punkte auf der Geraden zeilenweise aus der Geradengleichung ab

Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach $t$ auf

Setze den berechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunktes

1. Schritt: Koordinaten ablesen

Die Koordinaten der Punkte, die auf der Gerade $g_4$ liegen, ergeben sich, indem man jede „Zeile“ einzeln abliest:

$x_1 = 5+ 4\cdot t \quad$ , $x_2 = 1+t\quad$ und $\quad x_3 = 1$

2. Schritt: Koordinaten einsetzen und Gleichung lösen

$\begin{array}[t]{rll} 16 &=&3x_1 + 6x_2 + 4x_3 \quad \scriptsize \\[5pt] 16 &=&3\cdot (5+ 4t) +6\cdot (1+t) + 4\cdot 1 \quad \scriptsize \\[5pt] 16&=&25 + 18t \quad \scriptsize \mid\;-25 \\[5pt] -9&=&18t \quad \scriptsize \mid\;: 18 \\[5pt] -\frac{1}{2}&=&t \\ \end{array}$

$16 =3x_1 + 6x_2 + 4x_3$

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3. Schritt: Ortsvektor berechnen

Setze nun $t = -\frac{1}{2}$ in die Geradengleichung ein, so erhältst du folgendes:

$\overrightarrow{OS} =\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix} -\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ \frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$

Damit hat der Schnittpunkt der Geraden $g_4$ und der Ebene $E$ die Koordinaten $S(3\mid\,\frac{1}{2} \mid\, 1)$ .

$\blacktriangleright$ Orthogonale Gerade bestimmen

Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander liegen. Zwei Vektoren sind dabei orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt :

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} = x_1y_1 +x_2y_2 +x_3y_3 = 0$

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$ $= x_1y_1 +x_2y_2 +x_3y_3 = 0$

$\begin{array}[t]{rll} \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}a\\1\\0\end{pmatrix}&=& 0 \quad \scriptsize \\[5pt] 4a +1+ 0&=&0 \quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] 4a&=&-1 \quad \scriptsize \mid\; :4\\[5pt] a&=&-\frac{1}{4} \\ \end{array}$

Die Gerade $g_{\frac{-1}{4}}$ ist orthogonal zu $g_4$ .

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel berechnen

Setze den Richtungsvektor der Geraden und einen Normalenvektor der Ebene in die Formel für den Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Gerade ein. Im vorliegenden Fall erigbt sich folgendes:

$\overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}$

$\begin{array}[t]{rll} \sin(\alpha)&=&\dfrac{\left| \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\circ \begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}\right|\cdot \left| \begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}\right|} \quad \scriptsize \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{18}{\sqrt{4^2+1^2+0^2}\cdot \sqrt{3^2+6^2+4^2}} \quad \scriptsize \\[5pt] \sin(\alpha)&=&\dfrac{18}{\sqrt{1.037}} \quad \scriptsize \mid\; \sin^{-1} \\[5pt] \alpha&=& \sin^{-1}\left(\frac{18}{\sqrt{1.037}}\right)\quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&33,98^{\circ} \quad \scriptsize \\ \end{array}$

$\sin(\alpha)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Der Schnittwinkel zwischen $g_4$ und $E$ beträgt ca. $33,98^{\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $a$ bestimmen

2ND TRACE(CALC) 2: zero

$\begin{array}[t]{rll} \sin\left(10^{\circ}\right)&=&\dfrac{\left|\begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}a\\1\\0 \end{pmatrix} \right|}{\left|\begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix} \right| \cdot\left|\begin{pmatrix}a\\1\\0 \end{pmatrix} \right|} \quad \scriptsize \\[5pt] \sin\left(10^{\circ}\right)&=&\dfrac{\left|3a +6 \right|}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{a^2+1}} \quad \scriptsize \mid\; -\sin\left(10^{\circ}\right) \\[5pt] 0&=& \dfrac{\left|3a +6 \right|}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{a^2+1}} -\sin\left(10^{\circ}\right) \quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] a_1&\approx& -3,76 \quad \scriptsize \\[5pt] a_2&\approx& -1,27\quad \scriptsize \\ \end{array}$

$\sin\left(10^{\circ}\right)=...$

Vollständige Lösung anzeigen

Für $a_1\approx -3,76$ und $a_2 \approx -1,27$ hat der Schnittwinkel von $g_a$ und $E$ die Weite $10^{\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden begründen

Dir sollte auffallen, dass in $F$ nur die $x_3$ -Koordinate Bedeutung hat. In der Ebene liegen also alle Punkte, die die $x_3$ -Koordinate $1$ besitzen. Außerdem kannst du sehen, dass der letzte Eintrag des Richtungsvektors von $g_a$ $0$ ist und der Stützvektor den letzten Eintrag $1$ hat. Damit haben also alle Punkte auf den Geraden $g_a$ die $x_3$ -Koordinate $1$ und liegen somit in $F$ .

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Du sollst nun eine Gleichung der Geraden $h$ finden. Geradengleichungen haben allgemein folgende Form:

$g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \overrightarrow{r}$

Zwei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist: $t\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}$ , für ein $t \in \mathbb{R}$ .

Daraus, dass die $x_3$ -Koordinate von allen Punkten auf $h$ $1$ bleiben soll, erhält man automatisch, dass der Richtungsvektor von $h$ die Form $\overrightarrow{r_h} = \begin{pmatrix}r_1\\r_2\\0 \end{pmatrix}$ hat. Nun müssen noch $r_1$ und $r_2$ gefunden werden, so dass $\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\0 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}a\\1\\0 \end{pmatrix}$ nicht linear abhängig sind. Beachte dabei, dass $a$ jeden reellen Wert annehmen kann. Findest du keine Werte für $r_1$ und $r_2$ durch Ausprobieren, dann kannst du dir auch die Gleichungen aufschreiben, die sich aus einer linearen Abhängigkeit ergeben würden:

$t \cdot\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\1\\0 \end{pmatrix}\quad$ $\quad \Leftrightarrow t\cdot r_1 = a$ und $t\cdot r_2 = 1$ .

Setzt du nun $r_2 = 0$ , so kann die zweite Gleichung dort niemals erfüllt werden. Für $r_3$ kannst du dann einen beliebigen Wert wählen. Insgesamt ergibt sich beispielsweise die folgende Geradengleichung für $h$ :

$h: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}5\\1\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(X = 4)$

Diese kannst du mit dem binompdf-Befehl deines GTR berechnen. Diesen findest du unter

2ND VARS(DISTR) A: binompdf

Dort musst du nun die Parameter $n = 5$ , $p= 0,88$ und $k= 4$ der Reihe nach eingeben.

Es gilt also $P(X = 4) \approx 0,3598 = 35,98\,\%$ .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $35,98\,\%$ trifft der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde berechnen

Da der Athlet für jeden Fehlschuss eine Strafrunde laufen muss, setzt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet höchstens eine Strafrunde läuft wie folgt zusammen:

$\begin{array}[t]{rll} \scriptsize P(\text{„Höchstens 1 Strafrunde“})&=&\scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang ein Fehlschuss“}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss“}) \quad \scriptsize \\[5pt] &+& \scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss“}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang ein Fehlschuss“})\quad \scriptsize \\[5pt] &+&\scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss“}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss“}) \quad \scriptsize \\ \end{array}$

$\scriptsize P(\text{„Höchstens 1 Strafrunde“})= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Berechne also diese Wahrscheinlichkeiten einzeln mit Hilfe der Binomialverteilung wie oben. Führe dazu geeignete Zufallsvariablen ein:

$Y$ beschreibe die zufällige Anzahl der Fehlschüsse im Durchgang nach der ersten Runde. Dann ist $Y$ aus den gleichen Gründen wie oben binomialverteilt mit den Parameter $n=5$ und $p = 0,07$ .
$Z$ beschreibe die zufällige Anzahl der Fehlschüsse im Durchgang nach der zweiten Runde. Dann ist $Z$ ebenfalls binomialverteilt mit den Parametern $n =5$ und $p = 0,12$ .

Gesucht sind dann nun $P(Y=0)$ , $P(Y = 1)$ , $P(Z = 0)$ und $P(Z =1)$ . Berechne diese wie oben mit deinem GTR:

$P(Y=0) \approx 0,70$

$P(Y =1)\approx 0,26$

$P(Z =0)\approx 0,53$

$P(Z=1) \approx 0,36$

Damit ergibt sich dann insgesamt folgendes Ergebnis:

$\begin{array}[t]{rll} \scriptsize P(\text{„Höchstens eine Strafrunde“})&=&P(Y = 0)\cdot P(Z =1) + P(Y=1)\cdot P(Z=0) + P(Y=0)\cdot P(Z=0) \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx&0,70\cdot 0,36 + 0,26\cdot 0,53 + 0,70 \cdot 0,53\quad \scriptsize \\[5pt] &=&0,7608 \quad \scriptsize \\[5pt] &\approx& 76,08 \,\% \quad \scriptsize \\ \end{array}$

$\scriptsize P(\text{„Höchstens eine Strafrunde“})= ...$

Vollständige Lösung anzeigen

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $76,08\,\%$ muss der Athlet höchstens eine Strafrunde laufen.

$\blacktriangleright$ Neue Trefferwahrscheinlichkeit berechnen

$P(W \leq 1) \geq 0,95$

Mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung, erhältst du eine Ungleichung in Abhängigkeit von $p$ . Löse diese nach $p$ auf, um die neue Trefferwahrscheinlichkeit zu ermitteln:

$P(X = k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Damit ergibt sich nun:

$\begin{array}[t]{rll} P(W \leq 1)&\geq& 0,95 \quad \scriptsize \\[5pt] P(W= 0) + P(W= 1)&\geq&0,95 \quad \scriptsize \\[5pt] \binom{5}{0}\cdot p^0\cdot (1-p)^{5} + \binom{5}{1}\cdot p^1\cdot (1-p)^{4}&\geq&0,95 \quad \scriptsize \\[5pt] (1-p)^{5} + 5\cdot p \cdot (1-p)^{4} &\geq& 0,95 \quad \scriptsize \mid\, - 0, 95\\[5pt] (1-p)^{5} + 5\cdot p \cdot (1-p)^{4} - 0,95 &\geq & 0 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

$P(W \leq 1)\geq 0,95$

Vollständige Lösung anzeigen

Du kannst nun die linke Seite der Ungleichung als Funktion auffassen, und deren Nullstellen wie oben mit deinem GTR berechnen.
Damit ergibt sich folgende Einschränkung für $p$ :

$-0,066 \leq p \leq 0, 076$

Wesentlich ist dabei nur $p \leq 0,076$ , da negative Wahrscheinlichkeiten keinen Sinn ergeben. Diese Ungleichung kannst du wiederum umformen, um eine Aussage über $p_0 = 1-p$ zu erhalten:

$\begin{array}[t]{rll} p&\leq & 0,076\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] -p&\geq& - 0,076 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 1-p&\geq& 0,924 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Athlet muss eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens $92,4\,\%$ erreichen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens vier von fünf Schüssen zu treffen.

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Aufgabe 2.1

$\blacktriangleright$ Schnittpunkt bestimmen

Du hast hier folgendes gegeben:

Den Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene, deren Gleichung in Koordinatenform gegeben ist, kannst du wie folgt bestimmen:

Lies die Koordinaten der Punkte auf der Geraden zeilenweise aus der Geradengleichung ab

Setze diese Koordinaten in die Ebenengleichung ein und löse nach $t$ auf

Setze den berechneten Wert für $t$ in die Geradengleichung ein und erhalte so den Ortsvektor des Schnittpunktes

1. Schritt: Koordinaten ablesen

Die Koordinaten der Punkte, die auf der Gerade $g_4$ liegen, ergeben sich, indem man jede „Zeile“ einzeln abliest:

$x_1 = 5+ 4\cdot t \quad$ , $x_2 = 1+t\quad$ und $\quad x_3 = 1$

2. Schritt: Koordinaten einsetzen und Gleichung lösen

$16 =3x_1 + 6x_2 + 4x_3$

3. Schritt: Ortsvektor berechnen

Setze nun $t = -\frac{1}{2}$ in die Geradengleichung ein, so erhältst du folgendes:

$\overrightarrow{OS} =\begin{pmatrix}5\\1\\1\end{pmatrix} -\frac{1}{2}\cdot \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\ \frac{1}{2}\\1\end{pmatrix}$

Damit hat der Schnittpunkt der Geraden $g_4$ und der Ebene $E$ die Koordinaten $S(3\mid\,\frac{1}{2} \mid\, 1)$ .

$\blacktriangleright$ Orthogonale Gerade bestimmen

Zwei Geraden sind genau dann orthogonal zueinander, wenn ihre Richtungsvektoren orthogonal zueinander liegen. Zwei Vektoren sind dabei orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $0$ ergibt :

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix} = x_1y_1 +x_2y_2 +x_3y_3 = 0$

$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}$ $= x_1y_1 +x_2y_2 +x_3y_3 = 0$

Die Gerade $g_{\frac{-1}{4}}$ ist orthogonal zu $g_4$ .

$\blacktriangleright$ Schnittwinkel berechnen

Setze den Richtungsvektor der Geraden und einen Normalenvektor der Ebene in die Formel für den Schnittwinkel zwischen einer Ebene und einer Gerade ein. Im vorliegenden Fall erigbt sich folgendes:

$\overrightarrow{r} = \begin{pmatrix}4\\1\\0\end{pmatrix}$ und $\overrightarrow{n} = \begin{pmatrix}3\\6\\4\end{pmatrix}$

$sin(\alpha)= ...$

Der Schnittwinkel zwischen $g_4$ und $E$ beträgt ca. $33,98^{\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Wert für $a$ bestimmen

F5: G-Solv F1: ROOT

$\sin\left(10^{\circ}\right)=$

Für $a_1\approx -3,76$ und $a_2 \approx -1,27$ hat der Schnittwinkel von $g_a$ und $E$ die Weite $10^{\circ}$ .

$\blacktriangleright$ Lage der Geraden begründen

$\blacktriangleright$ Geradengleichung bestimmen

Du sollst nun eine Gleichung der Geraden $h$ finden. Geradengleichungen haben allgemein folgende Form:

$g: \overrightarrow{x} = \overrightarrow{OP} + t \cdot \overrightarrow{r}$

Zwei Vektoren sind dann linear abhängig, wenn folgende Gleichung erfüllt ist: $t\cdot \overrightarrow{x} = \overrightarrow{y}$ , für ein $t \in \mathbb{R}$ .

$t \cdot\begin{pmatrix}r_1\\r_2\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a\\1\\0 \end{pmatrix}\quad$ $\quad \Leftrightarrow t\cdot r_1 = a$ und $t\cdot r_2 = 1$ .

$h: \overrightarrow{x} = \begin{pmatrix}5\\1\\1 \end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0 \end{pmatrix}$

Aufgabe 2.2

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit berechnen

$P(X = 4)$

Diese kannst du mit dem binompdf-Befehl deines GTR berechnen. Diesen findest du im Statistik-Menü unter

F5: DIST F5: Binomial F1: Bpd F2: Var

Dort musst du nun die Parameter $n = 5$ , $p= 0,88$ und $k= 4$ eingeben.

Es gilt also $P(X = 4) \approx 0,3598 = 35,98\,\%$ .

Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $35,98\,\%$ trifft der Athlet stehend bei fünf Schüssen genau vier Mal.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeit für höchstens eine Strafrunde berechnen

Da der Athlet für jeden Fehlschuss eine Strafrunde laufen muss, setzt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Athlet höchstens eine Strafrunde läuft wie folgt zusammen:

$\begin{array}[t]{rll} \scriptsize P(\text{„Höchstens 1 Strafrunde“})&=&\scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang ein Fehlschuss“}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss“}) \quad \scriptsize \\[5pt] &+& \scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss“}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang ein Fehlschuss“})\quad \scriptsize \\[5pt] &+&\scriptsize P(\text{„Im ersten Durchgang kein Fehlschuss“}) \cdot \scriptsize P(\text{„Im zweiten Durchgang kein Fehlschuss“}) \quad \scriptsize \\ \end{array}$

$\scriptsize P(\text{„Höchstens 1 Strafrunde“})= ...$

Berechne also diese Wahrscheinlichkeiten einzeln mit Hilfe der Binomialverteilung wie oben. Führe dazu geeignete Zufallsvariablen ein:

Gesucht sind dann nun $P(Y=0)$ , $P(Y = 1)$ , $P(Z = 0)$ und $P(Z =1)$ . Berechne diese wie oben mit deinem GTR:

$P(Y=0) \approx 0,70$

$P(Y =1)\approx 0,26$

$P(Z =0)\approx 0,53$

$P(Z=1) \approx 0,36$

Damit ergibt sich dann insgesamt folgendes Ergebnis:

$P(\text{„Höchstens eine Strafrunde“})=$

Mit einer Wahrscheinlichkeit von $76,08\,\%$ muss der Athlet höchstens eine Strafrunde laufen.

$\blacktriangleright$ Neue Trefferwahrscheinlichkeit berechnen

$P(W \leq 1) \geq 0,95$

Mit Hilfe der Formel für die Binomialverteilung, erhältst du eine Ungleichung in Abhängigkeit von $p$ . Löse diese nach $p$ auf, um die neue Trefferwahrscheinlichkeit zu ermitteln:

$P(X = k) = \binom{n}{k}\cdot p^k\cdot (1-p)^{n-k}$

Damit ergibt sich nun:

$P(W \leq 1)\geq 0,95$

Du kannst nun die linke Seite der Ungleichung als Funktion auffassen, und deren Nullstellen wie oben mit deinem GTR berechnen.
Damit ergibt sich folgende Einschränkung für $p$ :

$-0,066 \leq p \leq 0, 076$

Wesentlich ist dabei nur $p \leq 0,076$ , da negative Wahrscheinlichkeiten keinen Sinn ergeben. Diese Ungleichung kannst du wiederum umformen, um eine Aussage über $p_0 = 1-p$ zu erhalten:

$\begin{array}[t]{rll} p&\leq & 0,076\quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] -p&\geq& - 0,076 \quad \scriptsize \mid\; +1 \\[5pt] 1-p&\geq& 0,924 \quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$

Der Athlet muss eine Trefferwahrscheinlichkeit von mindestens $92,4\,\%$ erreichen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens vier von fünf Schüssen zu treffen.

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