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Wahlteil A1

Aufgaben
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Aufgabe A1.1

Der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x) = -0,1x^3 + 0,5 x^2 + 3,6\) beschreibt modellhaft für \( -1 \leq x \leq 5\) das Profil eines Geländequerschnitts.
Die positive \(x\)-Achse weist nach Osten, \(f(x)\) gibt die Höhe über dem Meeresspiegel an (1 Längeneinheit entspricht 100 m).
a)
Auf welcher Höhe liegt der höchste Punkt des Profils?
In dem Tal westlich dieses Punktes befindet sich ein See, der im Geländequerschnitt an seiner tiefsten Stelle \(10\,\text{m}\) tief ist.
Bestimme die Breite des Sees im Geländequerschnitt.
Ab einer Hangneigung von \(30^{\circ}\) besteht die Gefahr, dass sich Lawinen lösen.
Besteht an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr?
(5 VP)
b)
Die Abbildung zeigt den sichtbaren Teil dieser Seitenwand. Die Oberkante der Wand verläuft waagrecht auf \(540\,\text{m}\) Höhe. Von dieser Kante sind \(28\,\text{m}\) sichtbar.
Untersuche, ob der Flächeninhalt des sichtbaren Wandteils größer als \(130\,\text{m}^2\) ist.
(3 VP)
c)
Der weitere Verlauf des Profils nach Osten hin kann durch eine Parabel zweiter Ordnung modelliert werden, die sich ohne Knick an den Graphen von \(f\) anschließt. Ihr Scheitel liegt bei \(x = 6\) und beschreibt den tiefsten Punkt eines benachbarten Tals.
Auf welcher Höhe befindet sich dieser Punkt?
(4 VP)

Aufgabe A1.2

Gegeben ist die Funktion \(h\) mit \(h(x) = \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{4},\) deren Graph symmetrisch zur \(y\)-Achse ist. Es gibt einen Kreis, der den Graphen von \(h\) in dessen Schnittpunkten mit der \(x\)-Achse berührt.
Berechne die Koordinaten des Mittelpunkts dieses Kreises.
(3 VP)
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Aufgabe A 1.1

a)
\(\blacktriangleright\)  Höchsten Punkt bestimmen
Gegeben ist eine Funktion, deren Graph modellhaft das Profil eines Geländeabschnitts beschreibt. Gesucht ist nun die Höhe des höchsten Punkts innerhalb des vorgegebenen Bereichs. Du sollst hier also das globale Maximum des Intervalls bestimmen. Untersuche den Graphen dazu zunächst auf einen Hochpunkt mit Hilfe deines GTR. Da hier aber ein festes Intervall vorgegeben ist, musst du anschließend noch die Funktionswerte an den Randstellen bestimmen, um ein mögliches Randextremum zu überprüfen.
Abb. 1: Maximum bestimmen
Abb. 1: Maximum bestimmen
2. Schritt: Intervallgrenzen untersuchen
Überprüfe nun die Intervallgrenzen auf Randextrema, indem du die Funktionswerte berechnest. Den Befehl dafür findest du unter:
2ND \(\to\) TRACE (CALC) \(\to\) 1: value
2ND \(\to\) TRACE (CALC) \(\to\) 1: value
Du erhältst folgende Funktionswerte:
\(f(-1) = 4,2\quad \) und \(\quad\) \(f(5)= 3,6\)
Abb. 3: Intervallgrenze \(x=5\)
Abb. 3: Intervallgrenze \(x=5\)
Durch den Vergleich dieser Funktionswerte mit der \(y\)-Koordinate des Hochpunkts erhältst du, dass der höchste Punkt des Graphen im Bereich \(-1\leq x\leq 5\) der Hochpunkt \(H\) ist. Um die Höhe des höchsten Punkts des Bergs zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab beachten:
Für den Hochpunkt gilt \(y_H \approx 5,45 \). Da eine Längeneinheit \(100\,\text{m}\) entspricht, besitzt der höchste Punkt des Geländequerschnitts eine Höhe von ca. \(545\,\text{m}\).
\(\blacktriangleright\)  Breite des Sees bestimmen
Der See liegt in dem Tal westlich des höchsten Punktes und besitzt an seiner tiefsten Stelle eine Tiefe von \(10\) Metern. Erstelle dir zunächst eine Skizze, um dir den Sachverhalt klarzumachen.
Abb. 4: Skizze des Sees
Abb. 4: Skizze des Sees
Die Breite des Sees ergibt sich als Abstand der Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Gelände trifft. Die Wasseroberfläche kannst du durch eine Gerade modellieren. Die Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Land trifft, entsprechen im Modell den Schnittpunkten der Geraden mit dem Graphen von \(f\). Die Breite des Sees kannst du dann über den Abstand dieser Schnittpunkte zueinander bestimmen.
Mit Hilfe der angegebenen Tiefe des Sees kannst du eine Gleichung für die Gerade \(g\) bestimmen und die Schnittpunkte mit dem Graphen von \(f\) anschließend mit deinem GTR berechnen. Beachte auch hier den Maßstab.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
An der tiefsten Stelle liegt die Wasseroberfläche \(10\) Meter über dem Boden des Sees. Im Modell wird diese Stelle durch den lokalen Tiefpunkt \(T(x_T\mid y_T)\) des Graphen von \(f\) beschrieben. Die gesuchte Gerade liegt also \(0,1\) Längeneinheiten über dem Tiefpunkt des Graphen.
Abb. 5: Tiefpunkt
Abb. 5: Tiefpunkt
Die Gerade muss parallel zur \(x\)-Achse verlaufen, also eine Gleichung der Form \(y =b\) haben. \(b\) setzt sich dabei aus der \(y\)- Koordinate des Tiefpunkts (\(3,6\)) und der Tiefe des Sees (\(10\,\text{m } \hat{=}\, 0,1\) LE) zusammen.
Also gilt:
\(g: \quad y = 3,6+ 0,1 = 3,7\)
2. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Die Schnittpunkte der Geraden zu \(g\) mit dem Graphen von \(f\) stellen im Modell die Stellen dar, in denen die Wasseroberfläche auf das Geländeprofil trifft. Lass dir die beiden Graphen im GTR anzeigen. Mit folgendem Befehl kannst du die Schnittpunkte bestimmen:
2ND \(\to\) TRACE (CALC) \(\to\) 5: intersect
2ND \(\to\) TRACE (CALC) \(\to\) 5: intersect
Die Koordinaten lauten gerundet \(S(-0,43\mid 3,7)\) und \(P(0,47\mid 3,7)\).
Abb. 7: 2. Schnittpunkt
Abb. 7: 2. Schnittpunkt
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ergibt sich aus den Beträgen der \(x\)-Koordinaten, da beide dieselbe \(y\)-Koordinate besitzen:
\(d(S,P)\approx 0,47+ 0,43 = 0,9\)
Nun musst du noch den Maßstab beachten: \(0,9\) LE entsprechen \(90\,\text{m}\). Der See ist also ca. \(90\,\text{m}\) breit.
\(\blacktriangleright\)  Lawinengefahr untersuchen
Du sollst überprüfen, ob an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr besteht. Dazu musst du zunächst berechnen, welche die steilste Stelle ist. Da der Graph zwischen See und höchstem Punkt ansteigt, ist dies die Stelle mit dem steilsten Anstieg, also der größten Steigung.
Da die erste Ableitung \(f‘\) einer Funktion \(f\) immer die Steigung des zu \(f\) gehörenden Graphen beschreibt, ist hier also eine Maximalstelle von \(f‘\) und der zugehörige Steigungswinkel des Grpahen von \(f\) gesucht. Bilde also die erste Ableitungsfunktion von \(f\) und bestimme wie oben das Maximum mit deinem GTR:
\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& -0,1x^3+0,5x^2+3,6&\quad \scriptsize  \\[10pt]
f‘(x)&=& -0,3x^2+x &\quad \scriptsize  \\[5pt]
\end{array}\)
Abb. 8: Maximale Steigung
Abb. 8: Maximale Steigung
An der steilsten Stelle zwischen See und höchstem Punkt steigt das Profil in einem Winkel von ca. \(39,69\,^{\circ}\) an. Dort besteht also Lawinengefahr.
b)
\(\blacktriangleright\)  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt \(A\) des sichtbaren Wandteils zu berechnen, ist es hilfreich zunächst die Skizze auf dem Aufgabenblatt mit den bereits bekannten Werten zu beschriften:
Abb. 9: Skizze zur Hauswand
Abb. 9: Skizze zur Hauswand
Die obere Kante der Wand kannst du als Gerade \(h\) modellieren. Die gesuchte Fläche wird dann durch die Fläche zwischen \(h\) und dem Graphen von \(f\) in einem bestimmten Bereich dargestellt. Dieser Flächeninhalt lässt sich dann als Integral über \(h-f\) berechnen. Du musst vorher allerdings noch die Integrationsgrenzen bestimmen. Diese ergeben sich aus den \(x\)-Koordinaten der beiden Eckpunkte \(E\) und \(F\). In jedem Schritt musst du den Maßstab beachten.
1. Schritt: Grenzen bestimmen
Die Oberkante befindet sich \(540\,\text{m}\) über dem Meeresspiegel und verläuft waagerecht, also kann sie durch die Gerade mit der folgenden Funktionsgleichung modelliert werden:
\(h:\quad y = 5,4 \)
Der östliche Endpunkt des sichtbaren Teils der Wand wird dann durch einen Schnittpunkt \(F\) der Geraden \(h\) mit dem Graphen von \(f\) dargestellt.
Abb. 10: Schnittpunkt
Abb. 10: Schnittpunkt
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist jetzt das Integral über \(h-f\) von \(x_E = 2,72\) bis \(x_F = 3\): \(\quad \displaystyle\int_{2,72}^{3}\left(5,4- f(x)\right)\;\mathrm dx\)
Abb. 11: Integral
Abb. 11: Integral
Um die Fläche der Hauswand zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab mit einbeziehen. Beachte, dass es sich diesmal um Flächeneinheiten und Quadratmeter handelt. Da eine Längeneinheit \(100\) Metern entspricht, entspricht eine Flächeneinheit \(100 \cdot 100\, \text{m}^2 = 10.000 \, \text{m}^2\). Der sichtbare Teil der Wand besitzt also in etwa folgenden Flächeninhalt:
\(A \approx 0,01453 \cdot 10.000 \,\text{m}^2= 145,3\,\text{m}^2\)
Damit ist der sichtbare Teil der Wand größer als \(130\,\text{m}^2\).
c)
\(\blacktriangleright\)  Höhe des tiefsten Punkts berechnen
Du sollst die Höhe des tiefsten Punkts des östlichen Tals berechnen. Das Profil dieses Tals kann im Modell durch die Parabel einer quadratischen Funktion \(p\) beschrieben werden. Der tiefste Punkt des Tals wird durch den Scheitelpunkt der Parabel dargestellt, der damit gleichzeitig auch ein Tiefpunkt ist. Um diesen zu bestimmen, kannst du zunächst die Funktionsgleichung von \(p\) aufstellen.
Da \(p\) eine quadratische Funktion ist, hat die Funktionsgleichung allgemein folgende Form:
\(p(x) = ax^2+bx+c\)
\(p(x) = ax^2+bx+c\)
Du benötigst also drei Bedingungen, die du dem Aufgabentext entnehmen kannst:
  • Nahtloser Übergang vom Graphen von \(f\) zur Parabel:
    • Gleicher Funktionswert an der Übergangsstelle \(x =5\)
    • Gleiche Steigung bei \(x=5\)
  • Scheitelpunkt/Tiefpunkt an der Stelle \(x=6\)
Diese Bedingungen kannst du nun für die Funktionsgleichung von \(p\) formulieren. Beachte das notwendige Kriterium für einen Tiefpunkt \(p‘(x) = 0 \):
  • \(p(5) = f(5)\)
  • \(p‘(5)=f‘(5)\)
  • \(p‘(6)=0\)
1. Schritt: Bedingungen aufstellen
Du benötigst die erste Ableitungsfunktion von \(p\):
\(p‘(x) = 2\cdot a\cdot x +b = 2ax +b\)
Außerdem benötigst du den Funktionswert \(f(5)\) und die Steigung an dieser Stelle \(f‘(5)\). Diese kannst du wie oben mit deinem GTR berechnen:
\(f(5) = 3,6\quad \) \(f‘(5) = -2,5\)
Damit kannst du nun die Bedingungen für die Funktionsgleichung vollständig aufstellen:
  • \( a\cdot 5^2 +b\cdot 5 +c = 3,6\)
  • \( 2a\cdot 5+ b = -2,5\)
  • \( 2a\cdot 6 +b = 0\)
2. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Du erhältst folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
\(\begin{array}{}
\text{I}\quad&3,6&=& 25a+5b+c\\
\text{II}\quad&-2,5&=&10a+b\\
\text{III}\quad&0&=&12a+b\\
\end{array}\)
Du kannst das LGS lösen, indem du zunächst die dritte Gleichung nach \(b\) auflöst und in \(\text{II}\) einsetzt:
\(\begin{array}[t]{lrl}
\text{III}& \quad  12a +b &=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -12a\\[5pt]
\text{IIIa}& b&=&-12a
\end{array}\)
Einsetzen in \(\text{II}\) liefert dann:
\(\begin{array}[t]{rll}
\text{II}\quad 10a+b&=& -2,5 &\quad \scriptsize \mid\; b = -12a \\[5pt]
10a-12a&=&-2,5 &\quad \scriptsize  \\[5pt]
-2a&=&-2,5 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt]
a&=&1,25 \\[5pt]
\end{array}\)
Dies kannst du wiederum in \(\text{IIIa}\) einsetzen:
\(b = -12a = -12\cdot 1,25 = -15\)
Die jeweilige Lösung für \(a\) und \(b\) kannst du nun in \(\text{I}\) einsetzen und so die Lösung für \(c\) berechnen:
\(\begin{array}[t]{rll}
\text{I} \quad 3,6 &=&  25a+5b+c &\quad \scriptsize \mid\; a =1,25\, b = -15 \\[5pt]
3,6 &=& 25\cdot 1,25 +5\cdot (-15) + c &\quad \scriptsize \\[5pt]
3,6&=&-43,75 +c &\quad \scriptsize \mid\; +43,75 \\[5pt]
47,35&=& c&\quad \scriptsize  \\[5pt]
\end{array}\)
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also:
\(p(x) = 1,25 x^2-15x +47,35\)
3. Schritt: Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Abb. 12: Funktionswert bestimmen
Abb. 12: Funktionswert bestimmen
Der tiefste Punkt des östlich liegenden Tals liegt in einer Höhe von \(235\,\text{m}\).

Aufgabe A 1.2

\(\blacktriangleright\)  Mittelpunkt des Kreises berechnen
Um dir den Sachverhalt besser vorzustellen, betrachte zunächst den Graphen von \(h\) in deinem GTR:
Abb. 13: Schaubild des Graphen
Abb. 13: Schaubild des Graphen
Abb. 14: Kreisskizze
Abb. 14: Kreisskizze
1. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Abb. 15: Schaubild des Graphen
Abb. 15: Schaubild des Graphen
2. Schritt: Normalengleichung aufstellen
Eine Normale des Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_P\mid y_P)\) ist eine Gerade \(n: \quad y = mx +b \), die ebenfalls durch den Punkt \(P\) verläuft und für deren Steigung \(m\) folgende Formel gilt:
\(m = -\dfrac{1}{f‘(x_P)}\)
\(m = -\dfrac{1}{f‘(x_P)}\)
Abb. 16: Steigungsberechnung
Abb. 16: Steigungsberechnung
Damit die Normale ebenfalls durch den Punkt \(S_1\) läuft, musst du nun noch die Koordinaten in die Funktionsgleichung einsetzen, um \(b\) zu berechnen:
\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; m = -4 \\[5pt]
y&=& -4x+b&\quad \scriptsize \mid\; S_1(-2\mid 0)\\[5pt]
0&=&-4\cdot (-2) +b &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt]
-8&=&b &\quad \scriptsize  \\[5pt]
\end{array}\)
Damit hat die Normale im Punkt \(S_1(-2\mid 0)\) die Funktionsgleichung \(n:\quad y= -4x -8\). An einer Geradengleichung kannst du die \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse direkt ablesen. Die Normale schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(M(0\mid-8)\). Dies ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Kreises.
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Aufgabe A 1.1

a)
\(\blacktriangleright\)  Höchsten Punkt bestimmen
Gegeben ist eine Funktion, deren Graph modellhaft das Profil eines Geländeabschnitts beschreibt. Gesucht ist nun die Höhe des höchsten Punkts innerhalb des vorgegebenen Bereichs. Du sollst hier also das globale Maximum des Intervalls bestimmen. Untersuche den Graphen dazu zunächst auf einen Hochpunkt mit Hilfe deines GTR. Da hier aber ein festes Intervall vorgegeben ist, musst du anschließend noch die Funktionswerte an den Randstellen bestimmen, um ein mögliches Randextremum zu überprüfen.
1. Schritt: Hochpunkt bestimmen
Abb. 1: Maximum bestimmen
Abb. 1: Maximum bestimmen
2. Schritt: Intervallgrenzen untersuchen
Überprüfe nun die Intervallgrenzen auf Randextrema, indem du die Funktionswerte berechnest. Den Befehl dafür findest du unter:
F5 (G-Solv) \(\to\) F6 (\(\triangleright\)) \(\to\) F1 (Y-CAL)
2ND \(\to\) TRACE (CALC) \(\to\) 1: value
Du erhältst folgende Funktionswerte:
\(f(-1) = 4,2\quad \) und \(\quad\) \(f(5)= 3,6\)
Abb. 3: Intervallgrenze \(x=5\)
Abb. 3: Intervallgrenze \(x=5\)
Durch den Vergleich dieser Funktionswerte mit der \(y\)-Koordinate des Hochpunkts erhältst du, dass der höchste Punkt des Graphen im Bereich \(-1\leq x\leq 5\) der Hochpunkt \(H\) ist. Um die Höhe des höchsten Punkts des Bergs zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab beachten:
Für den Hochpunkt gilt \(y_H \approx 5,45 \). Da eine Längeneinheit \(100\,\text{m}\) entspricht, besitzt der höchste Punkt des Geländequerschnitts eine Höhe von ca. \(545\,\text{m}\).
\(\blacktriangleright\)  Breite des Sees bestimmen
Der See liegt in dem Tal westlich des höchsten Punktes und besitzt an seiner tiefsten Stelle eine Tiefe von \(10\) Metern. Erstelle dir zunächst eine Skizze, um dir den Sachverhalt klarzumachen.
Abb. 4: Skizze des Sees
Abb. 4: Skizze des Sees
Die Breite des Sees ergibt sich als Abstand der Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Gelände trifft. Die Wasseroberfläche kannst du durch eine Gerade modellieren. Die Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Land trifft, entsprechen im Modell den Schnittpunkten der Geraden mit dem Graphen von \(f\). Die Breite des Sees kannst du dann über den Abstand dieser Schnittpunkte zueinander bestimmen.
Mit Hilfe der angegebenen Tiefe des Sees kannst du eine Gleichung für die Gerade \(g\) bestimmen und die Schnittpunkte mit dem Graphen von \(f\) anschließend mit deinem GTR berechnen. Beachte auch hier den Maßstab.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
An der tiefsten Stelle liegt die Wasseroberfläche \(10\) Meter über dem Boden des Sees. Im Modell wird diese Stelle durch den lokalen Tiefpunkt \(T(x_T\mid y_T)\) des Graphen von \(f\) beschrieben. Die gesuchte Gerade liegt also \(0,1\) Längeneinheiten über dem Tiefpunkt des Graphen.
Abb. 5: Tiefpunkt
Abb. 5: Tiefpunkt
Die Gerade muss parallel zur \(x\)-Achse verlaufen, also eine Gleichung der Form \(y =b\) haben. \(b\) setzt sich dabei aus der \(y\)- Koordinate des Tiefpunkts (\(3,6\)) und der Tiefe des Sees (\(10\,\text{m } \hat{=}\, 0,1\) LE) zusammen.
Also gilt:
\(g: \quad y = 3,6+ 0,1 = 3,7\)
2. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Die Schnittpunkte der Geraden zu \(g\) mit dem Graphen von \(f\) stellen im Modell die Stellen dar, in denen die Wasseroberfläche auf das Geländeprofil trifft. Lass dir die beiden Graphen im GTR anzeigen. Mit folgendem Befehl kannst du die Schnittpunkte bestimmen:
F5(G-Solv) \(\to\) F5 (ISCT)
F5(G-Solv) \(\to\) F5 (ISCT)
Die Koordinaten lauten gerundet \(S(-0,43\mid 3,7)\) und \(P(0,47\mid 3,7)\).
Abb. 7: 2. Schnittpunkt
Abb. 7: 2. Schnittpunkt
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ergibt sich aus den Beträgen der \(x\)-Koordinaten, da beide dieselbe \(y\)-Koordinate besitzen:
\(d(S,P)\approx 0,47+ 0,43 = 0,9\)
Nun musst du noch den Maßstab beachten: \(0,9\) LE entsprechen \(90\,\text{m}\). Der See ist also ca. \(90\,\text{m}\) breit.
\(\blacktriangleright\)  Lawinengefahr untersuchen
Du sollst überprüfen, ob an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr besteht. Dazu musst du zunächst berechnen, welche die steilste Stelle ist. Da der Graph zwischen See und höchstem Punkt ansteigt, ist dies die Stelle mit dem steilsten Anstieg, also der größten Steigung.
Da die erste Ableitung \(f‘\) einer Funktion \(f\) immer die Steigung des zu \(f\) gehörenden Graphen beschreibt, ist hier also eine Maximalstelle von \(f‘\) und der zugehörige Steigungswinkel des Grpahen von \(f\) gesucht. Bilde also die erste Ableitungsfunktion von \(f\) und bestimme wie oben das Maximum mit deinem GTR:
\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& -0,1x^3+0,5x^2+3,6&\quad \scriptsize  \\[10pt]
f‘(x)&=& -0,3x^2+x &\quad \scriptsize  \\[5pt]
\end{array}\)
Abb. 8: Maximale Steigung
Abb. 8: Maximale Steigung
An der steilsten Stelle zwischen See und höchstem Punkt steigt das Profil in einem Winkel von ca. \(39,69\,^{\circ}\) an. Dort besteht also Lawinengefahr.
b)
\(\blacktriangleright\)  Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt \(A\) des sichtbaren Wandteils zu berechnen, ist es hilfreich zunächst die Skizze auf dem Aufgabenblatt mit den bereits bekannten Werten zu beschriften:
Abb. 9: Skizze zur Hauswand
Abb. 9: Skizze zur Hauswand
Die obere Kante der Wand kannst du als Gerade \(h\) modellieren. Die gesuchte Fläche wird dann durch die Fläche zwischen \(h\) und dem Graphen von \(f\) in einem bestimmten Bereich dargestellt. Dieser Flächeninhalt lässt sich dann als Integral über \(h-f\) berechnen. Du musst vorher allerdings noch die Integrationsgrenzen bestimmen. Diese ergeben sich aus den \(x\)-Koordinaten der beiden Eckpunkte \(E\) und \(F\). In jedem Schritt musst du den Maßstab beachten.
1. Schritt: Grenzen bestimmen
Die Oberkante befindet sich \(540\,\text{m}\) über dem Meeresspiegel und verläuft waagerecht, also kann sie durch die Gerade mit der folgenden Funktionsgleichung modelliert werden:
\(h:\quad y = 5,4 \)
Der östliche Endpunkt des sichtbaren Teils der Wand wird dann durch einen Schnittpunkt \(F\) der Geraden \(h\) mit dem Graphen von \(f\) dargestellt.
Abb. 10: Schnittpunkt
Abb. 10: Schnittpunkt
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist jetzt das Integral über \(h-f\) von \(x_E = 2,72\) bis \(x_F = 3\): \(\quad \displaystyle\int_{2,72}^{3}\left(5,4- f(x)\right)\;\mathrm dx\)
Abb. 11: Integral
Abb. 11: Integral
Um die Fläche der Hauswand zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab mit einbeziehen. Beachte, dass es sich diesmal um Flächeneinheiten und Quadratmeter handelt. Da eine Längeneinheit \(100\) Metern entspricht, entspricht eine Flächeneinheit \(100 \cdot 100\, \text{m}^2 = 10.000 \, \text{m}^2\). Der sichtbare Teil der Wand besitzt also in etwa folgenden Flächeninhalt:
\(A \approx 0,01453 \cdot 10.000 \,\text{m}^2= 145,3\,\text{m}^2\)
Damit ist der sichtbare Teil der Wand größer als \(130\,\text{m}^2\).
c)
\(\blacktriangleright\)  Höhe des tiefsten Punkts berechnen
Du sollst die Höhe des tiefsten Punkts des östlichen Tals berechnen. Das Profil dieses Tals kann im Modell durch die Parabel einer quadratischen Funktion \(p\) beschrieben werden. Der tiefste Punkt des Tals wird durch den Scheitelpunkt der Parabel dargestellt, der damit gleichzeitig auch ein Tiefpunkt ist. Um diesen zu bestimmen, kannst du zunächst die Funktionsgleichung von \(p\) aufstellen.
Da \(p\) eine quadratische Funktion ist, hat die Funktionsgleichung allgemein folgende Form:
\(p(x) = ax^2+bx+c\)
\(p(x) = ax^2+bx+c\)
Du benötigst also drei Bedingungen, die du dem Aufgabentext entnehmen kannst:
  • Nahtloser Übergang vom Graphen von \(f\) zur Parabel:
    • Gleicher Funktionswert an der Übergangsstelle \(x =5\)
    • Gleiche Steigung bei \(x=5\)
  • Scheitelpunkt/Tiefpunkt an der Stelle \(x=6\)
Diese Bedingungen kannst du nun für die Funktionsgleichung von \(p\) formulieren. Beachte das notwendige Kriterium für einen Tiefpunkt \(p‘(x) = 0 \):
  • \(p(5) = f(5)\)
  • \(p‘(5)=f‘(5)\)
  • \(p‘(6)=0\)
1. Schritt: Bedingungen aufstellen
Du benötigst die erste Ableitungsfunktion von \(p\):
\(p‘(x) = 2\cdot a\cdot x +b = 2ax +b\)
Außerdem benötigst du den Funktionswert \(f(5)\) und die Steigung an dieser Stelle \(f‘(5)\). Diese kannst du wie oben mit deinem GTR berechnen:
\(f(5) = 3,6\quad \) \(f‘(5) = -2,5\)
Damit kannst du nun die Bedingungen für die Funktionsgleichung vollständig aufstellen:
  • \( a\cdot 5^2 +b\cdot 5 +c = 3,6\)
  • \( 2a\cdot 5+ b = -2,5\)
  • \( 2a\cdot 6 +b = 0\)
2. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Du erhältst folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
\(\begin{array}{}
\text{I}\quad&3,6&=& 25a+5b+c\\
\text{II}\quad&-2,5&=&10a+b\\
\text{III}\quad&0&=&12a+b\\
\end{array}\)
Du kannst das LGS lösen, indem du zunächst die dritte Gleichung nach \(b\) auflöst und in \(\text{II}\) einsetzt:
\(\begin{array}[t]{lrl}
\text{III}& \quad  12a +b &=&0 &\quad \scriptsize \mid\; -12a\\[5pt]
\text{IIIa}& b&=&-12a
\end{array}\)
Einsetzen in \(\text{II}\) liefert dann:
\(\begin{array}[t]{rll}
\text{II}\quad 10a+b&=& -2,5 &\quad \scriptsize \mid\; b = -12a \\[5pt]
10a-12a&=&-2,5 &\quad \scriptsize  \\[5pt]
-2a&=&-2,5 &\quad \scriptsize \mid\; :(-2)\\[5pt]
a&=&1,25 \\[5pt]
\end{array}\)
Dies kannst du wiederum in \(\text{IIIa}\) einsetzen:
\(b = -12a = -12\cdot 1,25 = -15\)
Die jeweilige Lösung für \(a\) und \(b\) kannst du nun in \(\text{I}\) einsetzen und so die Lösung für \(c\) berechnen:
\(\begin{array}[t]{rll}
\text{I} \quad 3,6 &=&  25a+5b+c &\quad \scriptsize \mid\; a =1,25\, b = -15 \\[5pt]
3,6 &=& 25\cdot 1,25 +5\cdot (-15) + c &\quad \scriptsize \\[5pt]
3,6&=&-43,75 +c &\quad \scriptsize \mid\; +43,75 \\[5pt]
47,35&=& c&\quad \scriptsize  \\[5pt]
\end{array}\)
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also:
\(p(x) = 1,25 x^2-15x +47,35\)
3. Schritt: Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Abb. 12: Funktionswert bestimmen
Abb. 12: Funktionswert bestimmen
Der tiefste Punkt des östlich liegenden Tals liegt in einer Höhe von \(235\,\text{m}\).

Aufgabe A 1.2

\(\blacktriangleright\)  Mittelpunkt des Kreises berechnen
Um dir den Sachverhalt besser vorzustellen, betrachte zunächst den Graphen von \(h\) in deinem GTR:
Abb. 13: Schaubild des Graphen
Abb. 13: Schubild des Graphen
Abb. 14: Kreisskizze
Abb. 14: Kreisskizze
1. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Abb. 15: Schaubild des Graphen
Abb. 15: Schubild des Graphen
2. Schritt: Normalengleichung aufstellen
Eine Normale des Graphen einer Funktion \(f\) im Punkt \(P(x_P\mid y_P)\) ist eine Gerade \(n: \quad y = mx +b \), die ebenfalls durch den Punkt \(P\) verläuft und für deren Steigung \(m\) folgende Formel gilt:
\(m = -\dfrac{1}{f‘(x_P)}\)
\(m = -\dfrac{1}{f‘(x_P)}\)
Betrachte den Schnittpunkt \(S_1(-2\mid 0)\). Um die Steigung \(h‘(-2)\) zu berechnen, bilde zunächst die erste Ableitungsfunktion \(h‘\) und lass dir den zughörigen Graphen in deinem GTR anzeigen. \(h‘(-2)\) kannst du dann wie oben berechnen.
\(\begin{array}[t]{rll}
h(x)&=& \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{4} &\quad \scriptsize  \\[5pt]
&=& x^{-2} -\frac{1}{4} &\quad \scriptsize  \\[5pt]
h‘(x)&=&-2\cdot x^{-3} &\quad \scriptsize  \\[5pt]
&=&\dfrac{-2}{x^3} &\quad \scriptsize  \\[5pt]
\end{array}\)
Abb. 16: Steigungsberechnung
Abb. 16: Steigungsberechnung
\(\begin{array}[t]{rll}
y&=&m\cdot x +b &\quad \scriptsize \mid\; m = -4 \\[5pt]
y&=& -4x+b&\quad \scriptsize \mid\; S_1(-2\mid 0)\\[5pt]
0&=&-4\cdot (-2) +b &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt]
-8&=&b &\quad \scriptsize  \\[5pt]
\end{array}\)
Damit hat die Normale im Punkt \(S_1(-2\mid 0)\) die Funktionsgleichung \(n:\quad y= -4x -8\). An einer Geradengleichung kannst du die \(y\)-Koordinate des Schnittpunkts mit der \(y\)-Achse direkt ablesen. Die Normale schneidet die \(y\)-Achse im Punkt \(M(0\mid-8)\). Dies ist gleichzeitig der Mittelpunkt des Kreises.
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