Höchsten Punkt bestimmen
Gegeben ist eine Funktion, deren Graph modellhaft das Profil eines Geländeabschnitts beschreibt. Gesucht ist nun die Höhe des höchsten Punkts innerhalb des vorgegebenen Bereichs. Du sollst hier also das
globale Maximum des Intervalls bestimmen. Untersuche den Graphen dazu zunächst auf einen
Hochpunkt mit Hilfe deines GTR. Da hier aber ein festes Intervall vorgegeben ist, musst du anschließend noch die Funktionswerte an den Randstellen bestimmen, um ein mögliches
Randextremum zu überprüfen.
1. Schritt: Hochpunkt bestimmen
Lass dir also den Graphen in deinem GTR anzeigen. Den Befehl für ein Maximum findest du dann unter:
2ND

TRACE (CALC)

4: maximum
2ND

TRACE (CALC)

4: maximum
Der GTR liefert dir einen Hochpunkt mit den ungefähren Koordinaten

.
2. Schritt: Intervallgrenzen untersuchen
Überprüfe nun die Intervallgrenzen auf Randextrema, indem du die Funktionswerte berechnest.
Den Befehl dafür findest du unter:
2ND

TRACE (CALC)

1: value
2ND

TRACE (CALC)

1: value
Du erhältst folgende Funktionswerte:

und
Durch den Vergleich dieser Funktionswerte mit der

-Koordinate des Hochpunkts erhältst du, dass der höchste Punkt des Graphen im Bereich

der Hochpunkt

ist.
Um die Höhe des höchsten Punkts des Bergs zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab beachten:
Für den Hochpunkt gilt

. Da eine Längeneinheit

entspricht, besitzt der höchste Punkt des Geländequerschnitts eine Höhe von ca.

.
Breite des Sees bestimmen
Der See liegt in dem Tal westlich des höchsten Punktes und besitzt an seiner tiefsten Stelle eine Tiefe von

Metern. Erstelle dir zunächst eine Skizze, um dir den Sachverhalt klarzumachen.
Abb. 4: Skizze des Sees
Die Breite des Sees ergibt sich als Abstand der Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Gelände trifft.
Die Wasseroberfläche kannst du durch eine Gerade modellieren. Die Stellen, an denen die Wasseroberfläche auf das Land trifft, entsprechen im Modell den
Schnittpunkten der Geraden mit dem Graphen von

. Die Breite des Sees kannst du dann über den
Abstand dieser Schnittpunkte zueinander bestimmen.
Mit Hilfe der angegebenen Tiefe des Sees kannst du eine Gleichung für die Gerade

bestimmen und die Schnittpunkte mit dem Graphen von

anschließend mit deinem GTR berechnen. Beachte auch hier den Maßstab.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
An der tiefsten Stelle liegt die Wasseroberfläche

Meter über dem Boden des Sees.
Im Modell wird diese Stelle durch den
lokalen Tiefpunkt 
des Graphen von

beschrieben.
Die gesuchte Gerade liegt also

Längeneinheiten über dem Tiefpunkt des Graphen.
Du kannst nun erst die Koordinaten des Tiefpunkts mit Hilfe deines GTR bestimmen. Den Befehl dafür findest du unter:
2ND

TRACE (CALC)

3: minimum
2ND

TRACE (CALC)

3: minimum
Du erhältst die Koordinaten

.
Die Gerade muss parallel zur

-Achse verlaufen, also eine Gleichung der Form

haben.

setzt sich dabei aus der

- Koordinate des Tiefpunkts (

) und der Tiefe des Sees (

LE) zusammen.
Also gilt:
2. Schritt: Schnittpunkte bestimmen
Die Schnittpunkte der Geraden zu

mit dem Graphen von

stellen im Modell die Stellen dar, in denen die Wasseroberfläche auf das Geländeprofil trifft.
Lass dir die beiden Graphen im GTR anzeigen.
Mit folgendem Befehl kannst du die Schnittpunkte bestimmen:
2ND

TRACE (CALC)

5: intersect
2ND

TRACE (CALC)

5: intersect
Die Koordinaten lauten gerundet

und

.
3. Schritt: Abstand berechnen
Der Abstand zwischen den beiden Schnittpunkten ergibt sich aus den Beträgen der

-Koordinaten, da beide dieselbe

-Koordinate besitzen:
Nun musst du noch den Maßstab beachten:

LE entsprechen

. Der See ist also ca.

breit.
Lawinengefahr untersuchen
Du sollst überprüfen, ob an der steilsten Stelle des Profils zwischen See und höchstem Punkt Lawinengefahr besteht. Dazu musst du zunächst berechnen, welche die steilste Stelle ist. Da der Graph zwischen See und höchstem Punkt ansteigt, ist dies die Stelle mit dem steilsten Anstieg, also der
größten Steigung.
Da die erste Ableitung

einer Funktion

immer die Steigung des zu

gehörenden Graphen beschreibt, ist hier also eine
Maximalstelle von

und der zugehörige
Steigungswinkel des Grpahen von

gesucht.
Bilde also die erste Ableitungsfunktion von

und bestimme wie oben das Maximum mit deinem GTR:
Mit dem GTR erhältst du, dass die Stelle mit dem steilsten Anstieg bei

liegt. Der Funktionswert von

an dieser Stelle beschreibt die Steigung, also beträgt sie ca.

.
Den Steigungswinkel

kannst du mit Hilfe folgender Formel bestimmen.

ist dabei die Steigung des Graphen an der entsprechenden Stelle.
An der steilsten Stelle zwischen See und höchstem Punkt steigt das Profil in einem Winkel von ca.

an. Dort besteht also Lawinengefahr.
Flächeninhalt berechnen
Um den Flächeninhalt

des sichtbaren Wandteils zu berechnen, ist es hilfreich zunächst die Skizze auf dem Aufgabenblatt mit den bereits bekannten Werten zu beschriften:
Abb. 9: Skizze zur Hauswand
Die obere Kante der Wand kannst du als Gerade

modellieren. Die gesuchte Fläche wird dann durch die Fläche zwischen

und dem Graphen von

in einem bestimmten Bereich dargestellt. Dieser Flächeninhalt lässt sich dann als
Integral über

berechnen.
Du musst vorher allerdings noch die Integrationsgrenzen bestimmen. Diese ergeben sich aus den

-Koordinaten der beiden Eckpunkte

und

.
In jedem Schritt musst du den Maßstab beachten.
1. Schritt: Grenzen bestimmen
Die Oberkante befindet sich

über dem Meeresspiegel und verläuft waagerecht, also kann sie durch die Gerade mit der folgenden Funktionsgleichung modelliert werden:
Der östliche Endpunkt des sichtbaren Teils der Wand wird dann durch einen
Schnittpunkt 
der Geraden

mit dem Graphen von

dargestellt.
Du kannst die Koordinaten von

wie oben mit deinem GTR berechnen.
Beachte, dass es mehr als einen Schnittpunkt geben kann, das Gebäude aber westlich des höchsten Punkts liegt.
Der GTR liefert dir den Schnittpunkt

.
Die obere Grenze des Integrals ist demnach

. Die obere Kante ist

lang, also beträgt der Abstand zwischen

und

Längeneinheiten.
Die

-Koordinate von

ist also

.
2. Schritt: Flächeninhalt berechnen
Gesucht ist jetzt das Integral über

von

bis

:
Dies kannst du ebenfalls mit deinem GTR berechnen. Lass dir dazu den Graphen zur Funktion

anzeigen.
Den Befehl für ein Integral findest du dann unter:
Du erhältst folgendes Ergebnis:
Um die Fläche der Hauswand zu berechnen, musst du nun noch den Maßstab mit einbeziehen. Beachte, dass es sich diesmal um Flächeneinheiten und Quadratmeter handelt. Da eine Längeneinheit

Metern entspricht, entspricht eine Flächeneinheit

.
Der sichtbare Teil der Wand besitzt also in etwa folgenden Flächeninhalt:
Damit ist der sichtbare Teil der Wand größer als

.
Höhe des tiefsten Punkts berechnen
Du sollst die Höhe des tiefsten Punkts des östlichen Tals berechnen. Das Profil dieses Tals kann im Modell durch die
Parabel einer quadratischen Funktion 
beschrieben werden. Der tiefste Punkt des Tals wird durch den
Scheitelpunkt der Parabel dargestellt, der damit gleichzeitig auch ein
Tiefpunkt ist.
Um diesen zu bestimmen, kannst du zunächst die Funktionsgleichung von

aufstellen.
Da

eine quadratische Funktion ist, hat die Funktionsgleichung allgemein folgende Form:
Du benötigst also drei Bedingungen, die du dem Aufgabentext entnehmen kannst:
- Nahtloser Übergang vom Graphen von
zur Parabel:
- Gleicher Funktionswert an der Übergangsstelle

- Gleiche Steigung bei

- Scheitelpunkt/Tiefpunkt an der Stelle

Diese Bedingungen kannst du nun für die Funktionsgleichung von

formulieren. Beachte das
notwendige Kriterium für einen Tiefpunkt

:
1. Schritt: Bedingungen aufstellen
Du benötigst die erste Ableitungsfunktion von

:
Außerdem benötigst du den Funktionswert

und die Steigung an dieser Stelle

. Diese kannst du wie oben mit deinem GTR berechnen:
Damit kannst du nun die Bedingungen für die Funktionsgleichung vollständig aufstellen:
2. Schritt: Funktionsgleichung aufstellen
Du erhältst folgendes lineares Gleichungssystem (LGS):
Du kannst das LGS lösen, indem du zunächst die dritte Gleichung nach

auflöst und in

einsetzt:
Einsetzen in

liefert dann:
Dies kannst du wiederum in

einsetzen:
Die jeweilige Lösung für

und

kannst du nun in

einsetzen und so die Lösung für

berechnen:
Die Funktionsgleichung der Parabel lautet also:
3. Schritt: Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen
Die Koordinaten des Tiefpunkts der Parabel kannst du nun entweder über die minimum-Funktion oder die value-Funktion deines GTR bestimmen, indem du den Funktionswert an der Stelle

bestimmst, da du bereits weißt, dass dort der Tiefpunkt liegen soll:
Um die Höhe des Punktes im Gelände zu berechnen, beachte wieder den Maßstab:
Der tiefste Punkt des östlich liegenden Tals liegt in einer Höhe von

.