Darstellung der Pyramide und der Schnittfläche im Koordinatensystem
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass das Dreieck

die
Grundfläche der Pyramide mit Spitze

ist. Weiterhin weißt du, dass die Ebene

durch die Punkte

,

und

verläuft. Dabei ist

der Mittelpunkt der Kante

und

der Mittelpunkt der Kante

. Du sollst die Pyramide zusammen mit der Schnittfläche von Pyramide und Ebene darstellen. Dazu musst du zuerst die Koordinaten von

und

bestimmen.
Schritt 1: Bestimmen der Mittelpunkte
Den Mittelpunkt zwischen zwei Punkten kannst du mithilfe der Ortsvektoren und Verbindungsvektoren berechnen.
Um auf die Ortsvektoren der Mittelpunkte zu kommen, benötigst du also zunächst den Ortvektor zu einem der Punkte und dann die Hälfte des Verbindungsvektors zwischen dem Anfangs- und dem Endpunkt. Damit findest du

und

.
Schritt 2: Darstellung im Koordinatensystem
Zuerst musst du das Koordinatensystem zeichnen. Achte darauf, dass die Achsen weit genug in den positiven und den negativen Bereich gehen, sodass du alle Punkte einzeichnen kannst.
Nachdem du das Koordinatensystem angelegt hast, zeichnest du die Punkte

,

,

und

ein. Verbinde diese daraufhin zu einer Pyramide.
Anschließend zeichnest du die Mittelpunkte

und

. Diese verbindest du erst miteinander und dann jeweils mit dem Punkt

. So erhältst du die gesuchte Schnittfläche.
Abb. 1: Pyramide und Schnittfläche im Koordinatensystem
Abb. 1: Pyramide und Schnittfläche im Koordinatensystem
Berechnung des Umfangs der Schnittfläche
Die Schnittfläche wird von den Kanten

,

und

begrenzt. Den Umfang berechnest du, indem du die Länge dieser Kanten, also die Abstände zwischen den Eckpunkten der Fläche berechnest und diese Abstände addierst. Um die Abstände zwischen den Eckpunkten zu berechnen benötigst du im ersten Schritt die Verbindungsvektoren. Im zweiten Schritt musst du die Länge dieser Vektoren berechnen.
Schritt 1: Berechnung der Verbindungsvektoren
Schritt 2: Berechnung der Länge der Verbindungsvektoren
Die Länge eines Vektors ist sein Betrag.
Schritt 3: Umfang der Schnittfläche berechnen
Der Umfang

kannst du jetzt mit den drei Beträgen berechnen:
Bestimmen der Koordinatengleichung von
Du sollst nun eine Koordinatengleichung der Ebene

aufstellen, die durch die Punkte

,

und

verläuft.
Eine Ebenengleichung in Koordinatenform sieht im allgemeinen folgendermaßen aus:
Dabei ist

ein
Normalenvektor zur Ebene

, also ein Vektor, der senkrecht auf der Ebene steht.
Ein solcher Normalenvektor ergibt sich aus dem
Kreuzprodukt zweier Vektoren, die in der Ebene liegen.
Der Parameter

kann über eine Punktprobe bestimmt werden.
Gehe also wie folgt vor:
- Berechne einen Normalenvektor von
mit Hilfe des Kreuzproduktes zweier Verbindungsvektoren der Punkte
,
und
- Führe eine Punktprobe durch um
zu bestimmen
- Stelle die Ebenengleichung auf
1. Schritt: Bestimmen des Normalenvektors
Zwei Vektoren, die in

liegen erhältst du zum Beispiel mit den Verbindungsvektoren

und

. Diese Vektoren hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet:
Berechne nun

mit Hilfe des Kreuzproduktes:
2. Schritt: Punktprobe
Nun lautet die bisherige Ebenengleichung

Setze hier nun die Koordinaten eines Punktes der Ebene ein und berechne so

. Wähle dazu beispielsweise

:
3. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Die Ebenengleichung in Koordinatenform lautet nun :

Da du bei Gleichungen Äquivalenzumformungen durchführen darfst, kannst du auf beiden Seiten der Gleichung durch

teilen und erhältst

,
Was als Teilergebins angegeben ist.
Bestimmung der Koordinaten von Q
Die Punkte

,

und

sollen ein rechtwinkliges Dreieck bilden. Das bedeutet, dass zwischen genau zwei der Verbindungsvektoren

,

und

ein rechter Winkel liegt. Du weißt, dass das Skalarprodukt der Verbindungsvektoren null ist, wenn zwischen diesen ein rechter Winkel liegt.
Achtung: An dieser Stelle kannst du noch nicht sagen zwischen welchen der Verbindungsvektoren der rechte Winkel liegt! Das wird erst in Schritt 2 deutlich.
Gehe wie folgt vor:
- Bestimme die allgemeine Form des Punktes
, der auf der Kante
liegt.
- Berechne die Verbindungsvektoren
und
.
- Berechne das Skalarprodukt und setzte es mit Null gleich um
zu bestimmen.
1. Schritt: Bestimmen des Punktes
allgemein
Du weißt, dass

auf der Kante

liegt. Also auf einer
Geraden durch die Punkte

und

. Die Gerade durch

und

kannst du aufstellen, indem du als
Stützvektor den Ortsvekter

und als
Spannvektor den Verbindungsvektor

wählst. Also folgt:

und
Damit findest du die Geradengleichung

Jeder Punkt auf dieser Gerade hat die Form
2. Schritt: Berechnung der Verbindungsvektoren
und
Die Verbindungsvektoren berechnest du über die Differenz der Ortsvektoren:
Den Verbindungsvektor

hast du bereits im vorherigen Aufgabenteil berechnet.
Im nächsten Schritt sollst du das Skalsrprodukt berechnen und dieses mit Null gleichsetzten. Du kannst bereits an dieser Stelle erkennen, dass die Skalarprodukte

und

für
kein t null werden können. Der rechte Winkel muss also zwischen

und

liegen.
3. Schritt: Berechnung des Skalarprodukts und Bestimmung von
Das Skalarprodukt zwischen den Verbindungsvektoren lautet
Jetzt sollst du

so wählen, dass das Skalarprodukt null ist. Dazu kannst du den Taschenrechner verwenden. Gebe den oberen Term

als Funktion in den GTR ein und berechne die Nullstellen mit folgendem Befehl:
F5 (G-Solv)

F1 (ROOT)
F5 (G-Solv)

F1 (ROOT)
Abb. 2 Berechnen der Nullstellen
Abb. 2 Berechnung der Nullstellen
Du hast jetzt zwei Lösungen für

gefunden. Setzt du

in den allgemeinen Punkt

ein, so erhältst du einen Punkt, der nicht zwischen

und

liegt und somit nicht auf der Kante

. Setzt du

ein, erhältst du den gesuchten Punkt

also

.
Bestimmung der Koordinaten von
Du kannst aus der Aufgabenstellung entnehmen, dass

in der

-Ebene und im Inneren der Pyramide

liegt. Außerdem soll

zu der Grundfläche

, der Seitenfläche

und zu der Ebene

den gleichen Abstand haben.
Da der Punkt in der

Ebene liegt, ist die zweite Komponente null, hat also die allgemeine Form:
Gehe wie Folgt vor:
- Bestimme die Ebenengleichungen der drei Ebenen in Koordinatenform.
- Berechne mithilfe der Hesseschen Normalform die Abstände zwischen den drei Ebenen und Punkt
in allgemeiner Form.
- Bestimme die Koordinaten des Punktes
, indem du die Abstände aus Schritt 2 gleichsetzt.
Schritt 1: Bestimmen der Ebenengleichungen
Die Ebenengleichung von

hast du bereits in Aufgabenteil a) bestimmt.
Betrachtest du die Koordinaten der Punkte

,

und

kannst du sehen, dass

und

auf der

Achse und

auf der

-Achse liegen. Die Ebene

liegt also in der

-Ebene und besitzt damit die gleiche Koordinatengleichung, wie die

-Ebene.
Es fehlt also nur noch die Koordinatengleichung der Ebene

. Die Punkte

und

liegen, wie bereits erwähnt auf der

Achse.

liegt auf der

Achse. Die Ebene

liegt also in der

Ebene und hat damit die gleiche Koordinatengleichung, wie die

Ebene.
Dass die Ebenen

und

in den Koordinatenebenen liegen kannst du auch aus deiner Zeichung im Aufgabenteil a) entnehmen.
Schritt 2: Abstandsberechnung mit der Hesseschen Normalform
Mit der Hesseschen Normalform kannst du den Abstand

zwischen einem Punkt

und einer Ebene in Koordinatenform (siehe Aufgabenteil a)) berechnen.
Im Nenner steht der
Betrag des Normalenvektors. Du musst nun für alle drei Ebenen den Abstand zwischen dem Punkt

bestimmen. Dazu brauchst du die Beträge der Normalenvektoren. Die Normalenvektoren kannst du aus der Koordinatenform der Ebenen ablesen.
Jetzt kannst du alle bekannten Werte in die Hessesche Normalform einsetzten. Im Folgenden ist

der Abstand von

zur Ebene

usw.
Die Koordinaten

und

müssen jetzt so gewählt werden, dass alle drei Abstände gleich groß sind. Also:

,
woraus direkt

folgt. Du kannst also in dem Bruch

durch

ersetzten und erhältst:
Durch den Betrag erhält man für

zwei Lösungen zum Einen:
und zum Anderen:
Da

für

nicht in der Pyramide liegt, ist

die richtige Lösung und die Koordinaten sind