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Pflichtteil

Aufgaben
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Aufgabe 1

Bilde die Ableitung der Funktion \(f\) mit \(f(x)=(5x + 1) \cdot \sin (x^2)\).
(2 VP)

Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion \(f\) mit \(f(x)=\dfrac {48} {(2x - 4)^3}\).
Bestimme diejenige Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(3)=1\).
(2 VP)

Aufgabe 3

Löse die Gleichung \(3 - \mathrm e^x = \dfrac{2}{\mathrm e^x}\).
(3 VP)

Aufgabe 4

Der Graph der Funktion \(f\) mit \(f(x)= - \dfrac{1}{6}x^3 + x^2 - x\) besitzt einen Wendepunkt.
Zeige, dass \(y=x-\dfrac{4}{3}\) eine Gleichung der Tangente in diesem Wendepunkt ist.
(3 VP)

Aufgabe 5

(5 VP)

Aufgabe 6

Gegeben ist die Gerade \(g: \overrightarrow{x} = \pmatrix{3\\0\\1} + r \cdot \pmatrix{1\\4\\3} \).
a)
Untersuche, ob es einen Punkt auf \(g\) gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind.
b)
Die Gerade \(h\) verläuft durch \(Q (8\mid5\mid10)\) und schneidet \(g\) orthogonal.
Bestimme eine Gleichung von \(h\).
(5 VP)

Aufgabe 7

Gegeben ist die Ebene \(E:\,\) \(4x_1 + 4x_2 + 7x_3 = 28.\)
Es gibt zwei zu \(E\) parallele Ebenen \(F\) und \(G\), die vom Ursprung den Abstand \(2\) haben.
Bestimme jeweils eine Gleichung von \(F\) und \(G.\)
(3 VP)

Aufgabe 8

Bei einem Glücksrad werden die Zahlen \(1\), \(2\), \(3\) und \(4\) bei einmaligem Drehen mit folgenden Wahrscheinlichkeiten angezeigt:
Zahl Wahrscheinlichkeit
1 0,4
2 0,1
3 0,3
4 0,2
Zahl 1 2 3 4
Wahrscheinlichkeit 0,4 0,1 0,3 0,2
a)
Das Glücksrad wird einmal gedreht.
Gib zwei verschiedene Ereignisse an, deren Wahrscheinlichkeit jeweils \(0,7\) beträgt.
b)
An dem Glücksrad sollen nur die Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen \(1\) und \(2\) so verändert werden, dass das folgende Spiel fair ist:
Für einen Einsatz von \(2,50\,€\) darf man einmal am Glücksrad drehen.
Die angezeigte Zahl gibt den Auszahlungsbetrag in Euro an.
Bestimme die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten für die Zahlen \(1\) und \(2\).
(4 VP)

Aufgabe 9

Von zwei Kugeln \(K_1\) und \(K_2\) sind die Mittelpunkte \(M_1\) und \(M_2\) sowie die Radien \(r_1\) und \(r_2\) bekannt. Die Kugeln berühren einander von außen im Punkt \(B\).
Beschreibe ein Verfahren, mit dem man \(B\) bestimmen kann.
(3 VP)
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Lösungen
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Lösung 1

Gesucht ist die erste Ableitungsfunktion von \(f(x)=(5x+1)\cdot \sin\left(x^2\right)\). Hierbei handelt es sich um ein Produkt zweier Funktionsterme. \((5x+1)\) und \(\sin\left(x^2\right)\), wobei \(\sin\left(x^2\right)\) eine Verkettung ist. Hierfür benötigst du also sowohl die Ketten- als auch die Produktregel.
\(f(x)=(5x+1)\cdot \sin\left(x^2\right)\)
\(f

Lösung 2

Um diejenige Stammfunktion \(F\) von \(f\) mit \(F(3)=1\) zu berechnen, berechnest du zuerst die allgemeine Stammfunktion mit einer Konstanten \(C\). Danach musst du \(F(3)=1\) in die allgemeine Stammfunktion einsetzen und den unbekannten Parameter \(C\) berechnen.
1. Schritt: Allgemeine Stammfunktion berechnen
Da es sich bei \((2x-4)^3\) um eine Verkettung handelt, kannst du lineare Substitution anwenden, um eine Stammfunktion zu bilden.
Um die allgemeine Stammfunktion der gegebenen Funktion zu bilden, kannst du diese zunächst als Produkt schreiben.
\(\begin{array}{rll}
f(x)&=&\dfrac{48} {\left(2x-4\right)^3}\\[5pt]
f(x)&=& 48\cdot(2x-4)^{-3}\\[5pt]
F(x)&=& 48\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot(2x-4)^{-2}\cdot\dfrac{1}{2} + C\\[5pt]
&=& -12 \cdot (2x-4)^{-2} +C\\[5pt]
&=& -\dfrac{12}{(2x-4)^{2}}+C
\end{array}\)
2. Schritt: Parameter \(C\) berechnen
\(\begin{array}{rll}
F(3)&=& 1\\[5pt]
\dfrac{-12}{(2\cdot 3-4)^{2}}+C&=&1\\[5pt]
\dfrac{-12}{(2)^{2}}+C&=&1\\[5pt]
-3+C&=&1 \quad\mid\; +3\\[5pt]
C&=&+4\\[5pt]
\end{array}\)
Somit lautet die Stammfunktion \(F=-\dfrac{12}{(2x-4)^{2}}+4\).

Lösung 3

Substitution mit \(u=\mathrm{e}^x:\)
\(\begin{array}{rll}
3-\mathrm{e}^x&=&\dfrac{2}{\mathrm{e}^x}\\[5pt]
3-u&=&\dfrac{2}{u} \quad\scriptsize\mid\; \cdot u\\[5pt]
3u -u^{2}&=&2 \quad\scriptsize\mid\; +u^2 \,\mid\; -3u\\[5pt]
u^2 -3u +2&=&0&
\end{array}\)
\(\begin{array}{rll}
u_{1,2}&=&-\dfrac{-3}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2-(+2)}\\[5pt]
&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}-2}\\[5pt]
&=&\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}}\\[5pt]
&=&\dfrac{3}{2}\pm\dfrac{1}{2}\\[5pt]
u_1&=&2\\[5pt]
u_2&=&1\\[5pt]
\end{array}\)
Resubstitution:
\(\begin{array}{rll}
u_1&=&\mathrm{e}^{x_1}\\[5pt]
2&=&\mathrm{e}^{x_1}& \scriptsize\mid\; \ln()\\[5pt]
x_1&=& \ln(2)
\end{array}\)
\(\begin{array}{rll}
u_2&=&\mathrm{e}^{x_2}\\[5pt]
1&=&\mathrm{e}^{x_2}& \scriptsize\mid\; \ln()\\[5pt]
x_2&=& \ln(1)=&0
\end{array}\)
Die Gleichung hat die Lösungen \(x_1=\ln(2)\) und \(x_2=0\).

Lösung 4

Bei dieser Aufgabe sollst du zeigen, dass \(y=x-\dfrac{4}{3}\) eine Gleichung der Tangente an dem Wendepunkt von \(f\) ist. Bestimme zuerst die Koordinaten des Wendepunktes wie folgt:
  1. Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen von \(f\)
  2. Notwendiges Kriterium
  3. Hinreichendes Kriterium
  4. Setze nun den Wert \(x_1\) des Wendepunktes in den Funktionsterm von \(f\) ein
1. Schritt: Bestimmen der benötigten Ableitungsfunktionen von \(f\)
Die Funktion \(f\) kannst du mit der Summen- und Faktorregel ableiten.
\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& -\dfrac{1}{6}x^3+x^2-x \\[5pt]
f
2. Schritt: Notwendiges Kriterium
\(\begin{array}[t]{rll}
f
3. Schritt: Hinreichendes Kriterium
\(f
4. Schritt: Setze nun den Wert \(x_1\) in den Funktionsterm von \(f\) ein
\(\begin{array}[t]{rll}
f(x)&=& -\dfrac{1}{6}x^3+x^2-x \\[5pt]
f(2)&=& -\dfrac{1}{6}2^3+2^2-2 \\[5pt]
f(2)&=& \dfrac{2}{3}
\end{array}\)
Der Graph von f hat damit einen Wendepunkt mit den Koordinaten \(W\left(2\mid \frac{2}{3}\right)\).
Eine Tangente ist eine Gerade, die einen Funktionsgraphen in einem bestimmten Punkt berührt, ihn aber nicht schneidet. Im Berührpunkt ist die Steigung der Tangente gleich der Steigung der Kurve. Überprüfe die Tangente auf folgendes:
  1. Überprüfe, ob der Wendepunkt auf der Tangenten liegt, mittels einer Punktprobe
  2. Weise nach, dass die Steigung der Funktion \(f\) an dem Wendepunkt mit der Steigung der Tangenten übereinstimmt
1. Schritt: Überprüfe, ob der Wendepunkt auf der Tangenten liegt, mittels einer Punktprobe.
Setze also den Punkt \(W\left(2\mid \frac{2}{3}\right)\) in die gegebene Tangentengleichung ein.
\(\begin{array}[t]{rll}

y&=& x-\dfrac{4}{3} \\[5pt]
\dfrac{2}{3}&=& 2-\dfrac{4}{3} \\[5pt]

\end{array}\)
Somit liegt der Wendepunkt auf der Tangente.
2. Schritt: Weise nach, dass die Steigung der Funktion \(f\) mit der Steigung der Tangenten übereinstimmt
\(\begin{array}[t]{rll}
f
Somit besitzt die Funktion am Wendepunkt eine Steigung von \(1\). Die allgemeine Funktionsgleichung einer Geraden lautet:
\(y=mx+b\)
Somit besitzt die Tangente mit der Funktionsgleichung \(y=x-\dfrac{4}{3}\) die Steigung \(m=1\), also ist \(y=x-\dfrac{4}{3}\) die Tangente im Wendepunkt \(W\left(2\mid \frac{2}{3}\right)\).

Lösung 5

Für diese Aufgabe ist es wichtig, dass du weißt, dass die Funktion \(f\) die erste Ableitung von \(F\) ist und beschreibt daher die Steigung des Graphen von \(F\).
1.
\(f(1)=F(1)\)
Der Graph der Funktion \(F\) besitzt an der Stelle \(x=1\) einen Tiefpunkt, das bedeutet, dass die Steigung an der Stelle \(0\) ist. Da die Funktion \(f\) die Ableitungsfunktion von \(F\) beschreibt weißt du somit, dass \(f(1)=0\) gelten muss. Nun kannst du dir den Graph von \(F\) anschauen, dort kannst du ablesen, dass der Graph an der Stelle \(x=1\) auch den Funktionswert \(0\) besitzt.
Die erste Aussage ist wahr.
2.
\(\displaystyle\int_{0}^{2} f(x) \mathrm dx =4\)
Das Integral kannst du mit dem Hauptsatz der Integralrechnung berechnen.
\(\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx=F(b)-F(a)\)
\(\displaystyle\int_{a}^{b}\mathrm f(x)dx=F(b)-F(a)\)
Die Werte für \(F(2)\) und \(F(0)\) kannst du nun aus dem Graphen ablesen. Somit gilt:
\(\begin{array}{rll}
    \displaystyle\int_{0}^{2}\mathrm f(x)dx&=&F(2)-F(0)\\
    &=&4-2 \\
    &=&2
    \end{array}\)
Die zweite Aussage ist somit falsch.
3.
\(f besitzt im Bereich \(-1 \leq x \leq 1\) eine Nullstelle.
\(f entspricht der zweiten Ableitung von \(F\). Da der Graph von \(F\) an der Stelle \(x=0\) einen Wendepunkt besitzt, muss die zweite Ableitung, also \(f sein. Deshalb besitzt \(f an der Stelle \(x=0\) eine Nullstelle.
Die dritte Aussage ist richtig.
4.
\(f(F(-2))\gt 0\)
Du kannst an der Abbildung ablesen, dass \(F(-2)=0\) gilt. Nun musst du schauen, wie sich die Steigung von \(F\) an der Stelle \(x=0\) verhält. Da die Steigung bei \(x=0\) negativ ist, ist sie auf jeden fall kleiner als \(0\).
Die vierte Aussage ist falsch.

Lösung 6

a)
Ein Punkt der Form \(\begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}\) muss auf \(g\) liegen. Über eine Punktprobe kann überprüft werden, ob es einen solchen Punkt gibt.
\(\begin{array}{rll}
    \begin{pmatrix}a\\a\\a\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+t\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\\[5pt]
    \end{array}\)
Daraus lässt sich ein lineares Gleichungsystem ableiten:
\(\begin{array}{}
    \text{I}\quad& a &=& 3&+& t& \\
    \text{II}\quad& a&=& 0&+& 4t \\
    \text{III}\quad& a&=& 1&+& 3t
    \end{array}\)
\(\text{II}\)-\(\text{I}\) ergibt: \(0=-3+3t\)
\(\begin{array}[t]{rll}
    0&=& -3 +3t &\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt]
    3t&=& 3&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt]
    t&=& 1\\[5pt]
    \end{array}\)
Einsetzen in \(\text{I}\) ergibt:
\(\begin{array}[t]{rll}
    a&=& 3+t &\quad \scriptsize \mid\; t=1\\[5pt]
    a&=& 4
    \end{array}\)
\(t=1\) und \(a=4\) in \(\text{III}\) eingesetzt:
\(\begin{array}[t]{rll}
    a&=& 1+3\cdot t \\[5pt]
    4&=& 4
    \end{array}\)
Somit ergeben sich für den gesuchten Punkt die Koordinaten \( \begin{pmatrix}4\\4\\4\end{pmatrix}\).
b)
\(h:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{OQ} + s \cdot \overrightarrow{QR}\)
\(R\) liegt auf \(g\) und hat deshalb folgende Koordinaten:
\(\begin{array}{rll}
    \overrightarrow{OR}&=&\begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\\[5pt]
    \overrightarrow{OR}&=&\begin{pmatrix}3+r\\4r\\1+3r\end{pmatrix}
    \end{array}\)
Der Vektor \(\overrightarrow{QR}\) ist senkrecht zum Richtungsvektor von \(g,\) daher gilt:
\(\begin{array}{rll}
    \overrightarrow{QR} \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} &=&0\\[5pt]

    \left(\begin{pmatrix}3+r\\4r\\1+3r\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix}\right) \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} &=&0\\[5pt]
    \begin{pmatrix}r-5\\4r-5\\3r-9\end{pmatrix} \circ \begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix} &=&0\\[5pt]
    (r-5)+(4r-5)\cdot 4 + (3r-9) \cdot 3&=&0\\[5pt]
    r-5+16r-20 + 9r-27&=&0\\[5pt]
    26r-52&=&0\\[5pt]
    r&=&2
    \end{array}\)
\(r\) in \(g\) eingesetzt ergibt \(R:\)
\(\begin{array}{rll}
    \overrightarrow{OR} &=& \begin{pmatrix}3\\0\\1\end{pmatrix}+2\cdot\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}\\[5pt]
    \overrightarrow{OR} &=& \begin{pmatrix}5\\8\\7\end{pmatrix}
    \end{array}\)
Für die Geradengleichung von \(h\) folgt somit:
\(\begin{array}{rll}
    h:\overrightarrow{x}&=&\overrightarrow{OQ} + s \cdot \left(\overrightarrow{OR}-\overrightarrow{OQ}\right)
    \end{array}\)
\(\begin{array}{rll}
    \overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix} + s \cdot \left(\begin{pmatrix}5\\8\\7\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix}\right)\\[5pt]
    \overrightarrow{x}&=&\begin{pmatrix}8\\5\\10\end{pmatrix} + s \cdot \begin{pmatrix}-1\\1\\-1\end{pmatrix}\\[5pt]
    \end{array}\)

Lösung 7

Die allgemeine Gleichung der gesuchten Ebenen lautet: \(E_d:4x_1+4x_2+7x_3=d\)
Für den Abstand \(s\) zum Ursprung gilt: \(s=\dfrac{\vert d \vert}{\vert\overrightarrow{n} \vert}\)
Ein Normalenvektor der Ebene \(E\) lautet: \(\overrightarrow{n}= \begin{pmatrix}4\\4\\7\end{pmatrix}\)
\(\begin{array}{rll}
s &=& \dfrac{\vert d \vert}{\vert\overrightarrow{n}\vert} \quad \mid \cdot \vert\overrightarrow{n}\vert \\[5pt]
\vert d \vert &=& s \cdot \vert\overrightarrow{n}\vert \\[5pt]
\vert d \vert &=& 2 \cdot \sqrt{4^2+4^2+7^2} \\[5pt]
\vert d \vert &=& 2 \cdot \sqrt{4^2+4^2+7^2} \\[5pt]
\vert d \vert &=& 2 \cdot \sqrt{81} \\[5pt]
\vert d \vert &=& 18 \\[5pt]
d_1 &=& 18 \\[5pt]
d_2 &=& -18 \\[5pt]
\end{array}\)
Somit lauten die zwei Ebenengleichungen:
\(F: 4x_1+4x_2+7x_3 = 18\) und \(G: 4x_1+4x_2+7x_3 = -18\)

Lösung 8

a)
\(E_1:\) „Das Glücksrad zeigt eine ungerade Zahl an.“
\(E_2:\) „Das Glücksrad zeigt keine 3 an.“
b)
Die neue Wahrscheinlichkeit für die Zahl \(1\) wird mit \(p\) bezeichnet. Für die Wahrscheinlichkeit der Zahl \(2\) gilt dann:
\(1-p-0,3-0,2 = 0,5-p\)
Damit das Spiel fair ist, muss der Erwartungswert des Auszahlungsbetrags \(A\) dem Spieleinsatz in Höhe von 2,50 € entsprechen:
\(\begin{array}[t]{rll}
E(A) &=& 2,5  \\[5pt]
  p \cdot 1 +  (0,5-p)\cdot 2 + 0,3 \cdot 3  + 0,2 \cdot 4   &=& 2,5 \\[5pt]
 - p +  2,7   &=& 2,5  &\quad \scriptsize \mid\; -2,5 ; +p \\[5pt]
 0,2  &=& p  \\[5pt]
 p &=& 0,2
\end{array}\)
Für die Wahrscheinlichkeit für die Zahl \(2\) folgt:
\(0,5-p = 0,5 -0,2 = 0,3\)
Das Spiel ist fair, wenn die Wahrscheinlichkeit für die Zahl \(1\) zu \(0,2\) und die Wahrscheinlichkeit für die Zahl \(2\) zu \(0,3\) geändert wird.

Lösung 9

Du hast von zwei Kugeln \(K_1\) und \(K_2\) die Mittelpunkte \(M_1\) und \(M_2\) sowie die Radien \(r_1\) und \(r_2\) gegeben. Du weißt außerdem, dass sich die Kugeln im Punkt \(B(x\mid y\mid z)\) berühren. Beschreibe nun ein Verfahren, mit dem man für alle Kugeln \(B\) bestimmen kann.
1.
Bestimmung des Verschiebungsvektors \(\overrightarrow{v}\)
Bestimme zuerst den Verschiebungsvektor \(\overrightarrow{v}\) zwischen den Mittelpunkten \(M_1\) und \(M_2\). Berechne also die Verschiebung \(v\) wiefolgt:
\(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{M_1M_2}\)
2.
Einheitsvektor des Verschiebungsvektors \(\overrightarrow{v}\) bestimmen
Bestimme den Einheitsvektor \(\overrightarrow{v_0}\) des Verschiebungsvektors \(\overrightarrow{v}\). Den Einheitsvektor \(\overrightarrow{v_0}\) kannst du berechnen, indem du den Vektor \(\overrightarrow{v}\) durch den Betrag von \(\overrightarrow{v}\) teilst.
\(\overrightarrow{v_0}=\dfrac{\overrightarrow{v}}{\vert\overrightarrow{v}\vert}\)
3.
Ortsvektor vom Punkt \(B\) als Gerade darstellen
Nun kannst du den Ortsvektor des Punktes \(B\) als Gerade in Abhängigkeit des Radius \(r_1\) darstellen. Hierfür musst du eine Geradengleichung aufstellen. Als Ortsvektor der Geradengleichung kannst du den Ortsvektor des Mittelpunktes \(M_1\) wählen. Von diesem Punkt aus musst du nun um zum Punkt \(B\) zu gelangen, die Länge \(r_1\) in Richtung des Einheitsvektors \(\overrightarrow{v_0}\) verschieben. Somit lässt sich der Punkt \(B\) wie folgt darstellen:
\(\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OM_1} + r_1 \cdot \overrightarrow{v_0}\)
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