Geschwindigkeit berechnen

In dieser Teilaufgabe sollst du die Geschwindigkeit von

in

berechnen. Du hast hierfür gegeben, dass die Flugbahn von

durch die Gleichung

gegeben ist. Außerdem hast du gegeben, dass sich das Flugzeug

geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt.
An der Gleichung für die Flugbahn des Flugzeuges kannst du erkennen, dass sich das Flugzeug innerhalb einer Minute durch den Verschiebungsvektor

weiter bewegt. Somit kannst du die Länge des Verschiebungsvektors bestimmen und somit weißt du, welche Strecke das Flugzeug innerhalb einer Minute zurücklegt und damit auch die Geschwindigkeit.
Die Länge eines Vektors kannst du mit der Norm deines GTR berechnen.
Die Norm wird hierbei durch Betragsstriche für den entsprechenden Vektor gekennzeichnet.
Den Befehl für die Norm findest du unter:
Damit folgt folgende Lösung für die Geschwindigkeit

des Flugzeuges

:
Somit beträgt die Geschwindigkeit des Flugzeuges

etwa

.
Zeitpunkt bestimmen
Du sollst den Zeitpunkt bestimmen, zu dem

eine Höhe von

erreicht. Dazu hast du gegeben, dass die

-Ebene die Meeresoberfläche beschreibt. Dadurch weißt du, dass die

-Koordinate die Höhe über dem Meeresspiegel beschreibt.
Somit weißt du, dass die

-Koordinate des Flugzeuges zu dem Zeitpunkt

betragen soll. Die Flugbahn des Flugzeuges

in Abhängigkeit der Zeit

ist durch die Gleichung

gegeben. Daraus kannst du eine Gleichung zur Bestimmung der

-Koordinate bestimmen und gleich der Höhe von

setzen.
Es folgt die Gleichung:
Somit hast du gezeigt, dass nach

Minuten und damit um

Uhr die Höhe des Flugzeuges

beträgt.
Winkel bestimmen
Du sollt die Weite des Winkels bestimmen, mit dem das Flugzeug

steigt. Du hast gegeben, dass der Punkt

die Position von

um

Uhr und der Punkt

die Position von

um

Uhr beschreibt. Somit ist der Winkel zwischen der Meeresoberfläche und der Flugbahn des Flugzeuges

, welche durch eine Gerade gegeben ist, gesucht.
Den Winkel

zwischen einer Ebene

mit der allgemeinen Koordinatenform
mit dem zugehörigen Normalenvektor

und einer Geraden mit dem Richtungsvektor

kannst du mit folgender Formel berechnen:
Somit musst du noch den Normalenvektor der Ebene, welche die Meeresoberfläche beschreibt, bestimmen und den Richtungsvektor der Flugbahn des Flugzeuges

. Du hast gegeben, dass die Meeresoberfläche in der

-Ebene liegt. Außerdem weißt du, dass die Flugbahn des Flugzeuges

durch eine Gerade beschrieben werden kann und durch die Punkte

und

verläuft.
Somit gilt für die Ebenengleichung in Koordinatenform der Meeresoberfläche

, da die

-Koordinate für jeden Punkt in der

-Ebene Null ist und damit gilt für den Normalenvektor

.
Den Richtungsvektor der Flugbahn kannst du durch die Ortsvektoren der Punkte

und

folgendermaßen bestimmen:
Somit kannst du den Winkel mit der Norm für einen Vektor aus der vorherigen Teilaufgabe und dem Skalarprodukt deines GTR berechnen.
Damit folgt für den Winkel
Somit beträgt die Weite des Winkels etwa

.