Ein Spieler spielt zehn mal. Berechne die Wahrscheinlichkeit folgender Ereignisse: : „Das Glücksrad zeigt genau fünf Mal die Zahl .“
: „Beim ersten Spiel beträgt die Summe der beiden angezeigten Zahlen .“
: „Der Spieler erhält mindestens einmal den Hauptgewinn.“

Mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als soll in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt werden.
Berechne, wie oft du dazu mindestens spielen musst.

Berechne, wie viel der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel verdient.

Der Betreiber möchte erreichen, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal beträgt.
Dazu möchte er beim Glücksrad den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, der mit der Zahl beschriftet ist.
Berechne, wie weit der Mittelpunktswinkel dieses Kreissektors maximal gewählt werden darf.

  Wahrscheinlichkeit bestimmen In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das Glücksrad genau fünf Mal auf die Zahl zeigt. Dieses Ereignis wird hierbei mit bezeichnet. Du hast gegeben, dass der Spieler insgesamt zehn Mal spielt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad bei einer Drehung die Zahl anzeigt beträgt , da das Glücksrad aus insgesamt gleich großen Feldern besteht, wobei dieser Felder mit der Zahl beschriftet sind. Du kannst hierbei die Anzahl der Drehungen, bei denen das Glücksrad auf die Zahl zeigt, mit der Zufallsvariable bezeichnen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gesucht. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis etwa .   Wahrscheinlichkeit bestimmen Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim ersten Spiel die Summe der beiden angezeigten Zahlen beträgt. Dieses Ereignis wird mit bezeichnet. Betrachte somit alle möglichen Ereignisse, bei denen die Summe der angezeigten Zahlen genau ergibt. Hierbei gibt es die Möglichkeiten, dass das Glücksrad auf die Zahl zeigt und das Glücksrad auf die Zahl oder dass das Glücksrad auf die Zahl zeigt und das Glücksrad entsprechend auf die Zahl . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad auf die Zahl zeigt beträgt und auf die Zahl entsprechend . Das Glücksrad zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von auf die Zahl und mit einer Wahrscheinlichkeit von auf die Zahl . Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt: Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis eintritt .   Wahrscheinlichkeit bestimmen Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Spieler mindestens einmal den Hauptgewinn erzielt. Dieses Ereignis wird mit bezeichnet. Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Hauptgewinne, welche ein Spieler erzielt, mit der Zufallsvariable . Somit ist die Wahrscheinlichkeit gesucht. Der Hauptgewinn besteht darin, dass ausgezahlt werden. Der Hauptgewinn wird genau dann ausgezahlt, falls beide Glücksräder auf die Zahl zeigen. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit dem Gegenereignis wie folgt umschreiben: Die Anzahl der Hauptgewinne ist binomialverteilt mit und der Wahrscheinlichkeit , dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt. Bestimme somit die Wahrscheinlichkeit und anschließend mit dem binomPDf-Befehl deines GTR die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Für die Wahrscheinlichkeit , dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt, folgt mit den Einzelwahrscheinlichkeiten aus der vorherigen Teilaufgabe: Somit ist die Zufallsvariable mit und binomialverteilt. Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR: Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis eintritt etwa .

  Mindestanzahl der Spiele bestimmen In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie oft du mindestens spielen musst damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt wird. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Anzahl der erzielten Hauptgewinne binomialverteilt ist. Bezeichne die Anzahl der erzielten Hauptgewinne mit der Zufallsvariable . Die Zufallsvariable ist mit der unbekannten Gesamtanzahl der Spiele und der Wahrscheinlichkeit aus der vorherigen Teilaufgabe binomialverteilt. Du sollst hierbei so bestimmen, dass für die Wahrscheinlichkeit gilt. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass du die Wahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben kannst: Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße ist durch die folgende Formel gegeben: Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit mit : Da du die Mindestanzahl der Spiele bestimmen sollst, ist die kleinste Anzahl an Spielen gesucht für die die Ungleichung erfüllt ist. Den Wert für kannst du mit deinem GTR bestimmen. Benutze hierzu den Solve-Befehl deines GTR. Achte darauf, dass du für die Lösung durch den Solve-Befehl die Gleichung betrachten musst. Die Lösung der Gleichung entspricht der Mindestanzahl . Die Ungleichung ist somit ab einer Anzahl von Spielen erfüllt. Damit gilt, dass ab einer Anzahl von mindestens Spielen die Wahrscheinlichkeit größer als ist, dass ein Spieler mindestens einen Hauptgewinn erzielt.

  Durchschnittlichen Verdienst bestimmen Du sollst den durchschnittlichen Verdienst des Betreibers berechnen. Berechne dazu den erwarteten Gewinn des Betreibers. Bezeichne beispielsweise den Gewinn des Betreibers in Euro mit der Zufallsvariable . Die Formel für den Erwartungswert für vier verschiedene Ereignisse lautet: Hierbei ist gegeben, dass ein Spieler die Summe der beiden angezeigten Zahlen auf den Glücksrädern ausgezahlt bekommt, falls die angezeigten Zahlen der Glücksräder identisch sind. In diesem Fall gibt es somit die Möglichkeit, dass der Betreiber verliert. Dies ist der Fall, falls der Spieler ausgezahlt bekommt, nachdem er bereits Spieleinsatz bezahlt hat. Weiter gibt es die Möglichkeit, dass der Betreiber verliert, falls der Spieler ausgezahlt bekommt. Außerdem kann der Betreiber einen Gewinn von erhalten, falls der Spieler gewinnt, nachdem er bereits Spieleinsatz bezahlt hat. Zudem kann der Betreiber einen Gewinn von erhalten, falls der Spieler verliert nachdem er Spieleinsatz bezahlt hat. Somit musst du noch die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Fälle bestimmen. Der Betreiber verliert , falls beide Glücksräder die Zahl anzeigen. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit : Entsprechend gelten für die weiteren Wahrscheinlichkeiten laut der Aufgabenstellung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Betreiber Gewinn erzielt ergibt sich nun aus der Gegenwahrscheinlichkeit zu den zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeiten: Somit gilt für den zu erwarteten Gewinn pro Spiel mit der oben genannten Formel für den Erwartungswert: Daraus folgt, dass der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel verdient.

  Mittelpunktswinkel berechnen Du sollst berechnen, wie weit der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal gewählt werden darf. Dazu hast du gegeben, dass der Betreiber erreichen möchte, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal beträgt. Der Betreiber möchte dazu beim Glücksrad den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, welcher mit der Zahl beschriftet ist. Aus der Teilaufgabe b) weißt du bereits, dass die Anzahl der Hauptgewinne binomialverteilt ist. Die Anzahl der Hauptgewinne hast du mit der Zufallsvariable bezeichnet, welche mit und einer unbekannten Wahrscheinlichkeit binomialverteilt ist. Hierfür musst du die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels bestimmen und anschließend die folgende Ungleichung nach dem Mittelpunktswinkel auflösen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zweite Glücksrad auf die Zahl zeigt in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels beträgt . Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit , dass ein Spieler den Hauptgewinn gewinnt: Somit kannst du die Lösung der Ungleichung mit deinem GTR berechnen. Verwende hierzu den Solve-Befehl. Beachte hierbei, dass du dazu die Gleichung lösen musst. Daraus erhältst du die maximale Größe des Mittelpunktwinkels. Mit dem Solve-Befehl und des binomialPDf-Befehls deines GTR erhältst du: Daraus folgt, dass der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal betragen darf, damit der Betreiber erreicht, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal beträgt.

  Wahrscheinlichkeit bestimmen In dieser Teilaufgabe sollst du die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass das Glücksrad genau fünf Mal auf die Zahl zeigt. Dieses Ereignis wird hierbei mit bezeichnet. Du hast gegeben, dass der Spieler insgesamt zehn Mal spielt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad bei einer Drehung die Zahl anzeigt beträgt , da das Glücksrad aus insgesamt gleich großen Feldern besteht, wobei dieser Felder mit der Zahl beschriftet sind. Du kannst hierbei die Anzahl der Drehungen, bei denen das Glücksrad auf die Zahl zeigt, mit der Zufallsvariable bezeichnen. Somit ist die Wahrscheinlichkeit gesucht. Die Zufallsvariable ist somit binomialverteilt mit der Wahrscheinlichkeit und der Gesamtzahl der Drehungen . Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße kannst du mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR berechnen. Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis etwa .   Wahrscheinlichkeit bestimmen Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass beim ersten Spiel die Summe der beiden angezeigten Zahlen beträgt. Dieses Ereignis wird mit bezeichnet. Betrachte somit alle möglichen Ereignisse, bei denen die Summe der angezeigten Zahlen genau ergibt. Hierbei gibt es die Möglichkeiten, dass das Glücksrad auf die Zahl zeigt und das Glücksrad auf die Zahl oder dass das Glücksrad auf die Zahl zeigt und das Glücksrad entsprechend auf die Zahl . Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Glücksrad auf die Zahl zeigt beträgt und auf die Zahl entsprechend . Das Glücksrad zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von auf die Zahl und mit einer Wahrscheinlichkeit von auf die Zahl . Somit ergibt sich für die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt: Damit beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis eintritt .   Wahrscheinlichkeit bestimmen Du sollst die Wahrscheinlichkeit dafür bestimmen, dass der Spieler mindestens einmal den Hauptgewinn erzielt. Dieses Ereignis wird mit bezeichnet. Bezeichne beispielsweise die Anzahl der Hauptgewinne, welche ein Spieler erzielt, mit der Zufallsvariable . Somit ist die Wahrscheinlichkeit gesucht. Der Hauptgewinn besteht darin, dass ausgezahlt werden. Der Hauptgewinn wird genau dann ausgezahlt, falls beide Glücksräder auf die Zahl zeigen. Die Wahrscheinlichkeit kannst du mit dem Gegenereignis wie folgt umschreiben: Die Anzahl der Hauptgewinne ist binomialverteilt mit und der Wahrscheinlichkeit , dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt. Bestimme somit die Wahrscheinlichkeit und anschließend mit dem binomPDf-Befehl deines GTR die gesuchte Wahrscheinlichkeit. Für die Wahrscheinlichkeit , dass ein Spieler einen Hauptgewinn erzielt, folgt mit den Einzelwahrscheinlichkeiten aus der vorherigen Teilaufgabe: Somit ist die Zufallsvariable mit und binomialverteilt. Damit folgt für die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem binomialPDf-Befehl deines GTR: Somit beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass Ereignis eintritt etwa .

  Mindestanzahl der Spiele bestimmen In dieser Teilaufgabe sollst du berechnen, wie oft du mindestens spielen musst damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als in mindestens einem Spiel der Hauptgewinn erzielt wird. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass die Anzahl der erzielten Hauptgewinne binomialverteilt ist. Bezeichne die Anzahl der erzielten Hauptgewinne mit der Zufallsvariable . Die Zufallsvariable ist mit der unbekannten Gesamtanzahl der Spiele und der Wahrscheinlichkeit aus der vorherigen Teilaufgabe binomialverteilt. Du sollst hierbei so bestimmen, dass für die Wahrscheinlichkeit gilt. Aus der vorherigen Teilaufgabe weißt du, dass du die Wahrscheinlichkeit wie folgt umschreiben kannst: Die Wahrscheinlichkeit für eine binomialverteilte Zufallsgröße ist durch die folgende Formel gegeben: Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit mit : Da du die Mindestanzahl der Spiele bestimmen sollst, ist die kleinste Anzahl an Spielen gesucht für die die Ungleichung erfüllt ist. Den Wert für kannst du mit deinem GTR bestimmen. Benutze hierzu den Solve-Befehl deines GTR. Achte darauf, dass du für die Lösung durch den Solve-Befehl die Gleichung betrachten musst. Die Lösung der Gleichung entspricht der Mindestanzahl . Die Ungleichung ist somit ab einer Anzahl von Spielen erfüllt. Damit gilt, dass ab einer Anzahl von mindestens Spielen die Wahrscheinlichkeit größer als ist, dass ein Spieler mindestens einen Hauptgewinn erzielt.

  Durchschnittlichen Verdienst bestimmen Du sollst den durchschnittlichen Verdienst des Betreibers berechnen. Berechne dazu den erwarteten Gewinn des Betreibers. Bezeichne beispielsweise den Gewinn des Betreibers in Euro mit der Zufallsvariable . Die Formel für den Erwartungswert für vier verschiedene Ereignisse lautet: Hierbei ist gegeben, dass ein Spieler die Summe der beiden angezeigten Zahlen auf den Glücksrädern ausgezahlt bekommt, falls die angezeigten Zahlen der Glücksräder identisch sind. In diesem Fall gibt es somit die Möglichkeit, dass der Betreiber verliert. Dies ist der Fall, falls der Spieler ausgezahlt bekommt, nachdem er bereits Spieleinsatz bezahlt hat. Weiter gibt es die Möglichkeit, dass der Betreiber verliert, falls der Spieler ausgezahlt bekommt. Außerdem kann der Betreiber einen Gewinn von erhalten, falls der Spieler gewinnt, nachdem er bereits Spieleinsatz bezahlt hat. Zudem kann der Betreiber einen Gewinn von erhalten, falls der Spieler verliert nachdem er Spieleinsatz bezahlt hat. Somit musst du noch die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Fälle bestimmen. Der Betreiber verliert , falls beide Glücksräder die Zahl anzeigen. Somit gilt für die Wahrscheinlichkeit : Entsprechend gelten für die weiteren Wahrscheinlichkeiten laut der Aufgabenstellung: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Betreiber Gewinn erzielt ergibt sich nun aus der Gegenwahrscheinlichkeit zu den zuvor bestimmten Wahrscheinlichkeiten: Somit gilt für den zu erwarteten Gewinn pro Spiel mit der oben genannten Formel für den Erwartungswert: Daraus folgt, dass der Betreiber auf lange Sicht durchschnittlich pro Spiel verdient.

  Mittelpunktswinkel berechnen Du sollst berechnen, wie weit der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal gewählt werden darf. Dazu hast du gegeben, dass der Betreiber erreichen möchte, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal beträgt. Der Betreiber möchte dazu beim Glücksrad den Mittelpunktswinkel des Kreissektors verändern, welcher mit der Zahl beschriftet ist. Aus der Teilaufgabe b) weißt du bereits, dass die Anzahl der Hauptgewinne binomialverteilt ist. Die Anzahl der Hauptgewinne hast du mit der Zufallsvariable bezeichnet, welche mit und einer unbekannten Wahrscheinlichkeit binomialverteilt ist. Hierfür musst du die Wahrscheinlichkeit für einen Hauptgewinn in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels bestimmen und anschließend die folgende Ungleichung nach dem Mittelpunktswinkel auflösen: Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das zweite Glücksrad auf die Zahl zeigt in Abhängigkeit des Mittelpunktswinkels beträgt . Damit folgt für die Wahrscheinlichkeit , dass ein Spieler den Hauptgewinn gewinnt: Somit kannst du die Lösung der Ungleichung mit deinem GTR berechnen. Verwende hierzu den Solve-Befehl. Beachte hierbei, dass du dazu die Gleichung lösen musst. Daraus erhältst du die maximale Größe des Mittelpunktwinkels. Mit dem Solve-Befehl und des binomialPDf-Befehls deines GTR erhältst du: Daraus folgt, dass der Mittelpunktswinkel des Kreissektors maximal betragen darf, damit der Betreiber erreicht, dass bei zehn Spielen die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Hauptgewinn maximal beträgt.