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Aufgaben
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Die mit \( ^{\color{#87c800}{\boldsymbol{*}}}\) markierten Aufgabenteile sind für das Abi ab 2019 nicht relevant.

Aufgabe A 2.1

Ein Klimaforscher beschreibt die Entwicklung der globalen Durchschnittstemperatur modellhaft durch die Funktion \( f\) mit
\( f(t)=2,8\cdot \mathrm e^{0,008t}-0,03t +11,1;\) \( 0\leq t\leq 200.\)
Dabei gibt \( t\) die Zeit in Jahren seit Beginn des Jahres 1900 und \( f(t)\) die globale Durchschnittstemperatur in Grad Celsius an.
Bearbeite die folenden Teilaufgaben anhand dieses Modells.
a)
Gib die globale Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 1900 an.
Gib die niedrigste globale Durchschnittstemperatur seit 1900 an.
In welchem Jahr wird die globale Durchschnittstemperatur \( 16,0^{\circ}C\) überschreiten?\(^{\color{#87c800}{\boldsymbol{*}}}\)
Ermittle die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur zu Beginn des Jahres 2000.
Bestimme den Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im durch die Modellierung beschriebenen Zeitraum.
(4,5 BE)
b)
Formuliere eine Fragestellung im Sachzusammenhang, die auf die Gleichung \( f(t+10)-f(t)=0,5\) führt.
Nachdem die globale Durchschnittstemperatur ihren niedrigsten Wert erreicht hat, steigt sie immer weiter an.
Zeige, dass dieser Anstieg immer schneller verläuft.
(3,5 BE)
c)\(^{\color{#87c800}{\boldsymbol{*}}}\)
Es werden Klimaschutzmaßnahmen geplant. Greifen diese zum Zeitpunkt \(t_0,\) so bleibt die momentane Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur konstant bei dem Wert, der durch das Modell des Klimaforschers für \(t_0\) vorausgesagt wird.
Bestimme den spätesten Zeitpunkt \(t_0,\) zu dem die Maßnahmen greifen müssen, damit die globale Durchschnittstemperatur \(15,7^{\circ}C\) bis zum Beginn des Jahres 2050 nicht überschreiten wird.
(3 BE)
d)
Infolge alternativer Klimaschutzmaßnahmen kann der Verlauf der globalen Durchschnittstemperatur ab Beginn des Jahres 2020 durch beschränktes Wachstum modelliert werden. Der Graph der zugehörigen Funktion \( g\) schließt sich dabei ohne Knick an den Graphen der Funktion \( f\) an.
Außerdem stellt sich nach diesem neuen Modell langfristig eine globale Durchschnittstemperatur von \( 16,8^{\circ}C\) ein.
Bestimme einen Funktionsterm von \( g.\)
(4 BE)

Aufgabe A 2.2

Für jedes \( a\gt  0\) ist eine Funktion \( f_a\) mit \( f_a(x)=-ax^4+4ax^2\) gegeben.
a)
Begründe, dass der Graph von \( f_a\) achsensymmetrisch zur \( y\)-Achse ist.
Zeige, dass die Nullstellen der Funktion \( f_a\) unabhängig von \( a\) sind.
(2 BE)
b)
Sowohl der Graph der Funktion \( g\) mit \( g(x)=\frac{32}{15}\pi\cdot \sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)\) als auch der Graph von \( f_a\) schließen für \( 0\leq x\leq 2\) eine Fläche mit der \( x\)-Achse ein.
Bestimme \( a\) so, dass beide Flächen den gleichen Inhalt haben.
(3 BE)
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Lösungen
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Aufgabe A 2.1

a)
\( \blacktriangleright\)  Globale Durchschnittstemperatur angeben
\( f(0)=2,8\cdot \mathrm e^{0,008\cdot 0}-0,03\cdot 0 +11,1 = 13,9\)
Zu Beginn des Jahres 1900 betrug die globale Durchschnittstemperatur \( 13,9^{\circ}C.\)
\( \blacktriangleright\)  Niedrigste globale Durchschnittstemperatur angeben
Du kannst das Grafik-Menü deines GTRs verwenden um den kleinsten Funktionswert von \( f\) im angegebenen Bereich zu bestimmen.
\( \blacktriangleright\) TI 84-PLUS
Lass dir den Graphen von \( f\) in deinem GTR anzeigen und bestimme anschließend die Koordinaten des Tiefpunkts im relevanten Bereich für \( 0\leq t\leq 200.\)
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 3: minimum
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 3: minimum
Die Funktionswerte an den Intervallrändern kannst du ebenfalls im Grafik-Menü bestimmen:
2nd \( \to\) trace(calc) \( \to\) 1: value
2nd \( \to\) trace(calc) \( \to\) 1: value
\( \blacktriangleright\) Casio fx-CG
Lass dir den Graphen von \( f\) in deinem GTR anzeigen und bestimme anschließend die Koordinaten des Tiefpunkts im relevanten Bereich für \( 0\leq t\leq 200.\)
F5 (G-Solv) \( \to\) F3: MIN
F5 (G-Solv) \( \to\) F3: MIN
Die Funktionswerte an den Intervallrändern kannst du ebenfalls im Grafik-Menü bestimmen:
F5 (G-Solv) \( \to\) F6 \( \to\) F1: Y-CAL
F5 (G-Solv) \( \to\) F6 \( \to\) F1: Y-CAL
Es ergibt sich ein Tiefpunkt mit den Koordinaten \( T(36,52\mid 13,75).\)
Für die Intervallränder gilt \( f(0)=13,9\) und \( f(200)\approx 18,97.\)
Die niedrigste globale Durchschnittstemperatur im Modellierungszeitraum beträgt ca. \( 13,75^{\circ}C.\)
\( \blacktriangleright\)  Jahr der Überschreitung bestimmen
Gesucht ist das kleinste \( t\) mit \( 0\leq t\leq 200\) und \( f(t)= 16.\) Lass dir dazu den Graphen von \( f\) zusammen mit der Geraden \( y=16\) in deinem GTR anzeigen und bestimme die Schnittstellen.
\( \blacktriangleright\) TI 84-PLUS
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 5: intersect
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 5: intersect
\( \blacktriangleright\) Casio fx-CG
F5 (G-Solv) \( \to\) F5: INTSECT
F5 (G-Solv) \( \to\) F5: INTSECT
\( \begin{array}[t]{rll}
        f(t)&=& 16 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt]
        t&\approx& 152,3
        \end{array}\)
Im Jahr 2052 wird die globale Durchschnittstemperatur zum ersten mal \( 16^{\circ}C\) überschreiten.
\( \blacktriangleright\)  Momentane Änderungsrate ermitteln
Die momentane Änderungsrate von \( f\) an der Stelle \( t=100\) kannst du mit deinem GTR bestimmen.
\( \blacktriangleright\) TI 84-PLUS
Lass dir den Graphen von \( f\) im GTR anzeigen. Die momentane Änderungsrate an einer bestimmten Stelle kannst du mit folgendem Befehl bestimmen:
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 6: \( \text{dy/dx}\)
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 6: \( \text{dy/dx}\)
\( \blacktriangleright\) Casio fx-CG
Taschenrechner Screenshot
Abb. 1: Screenshot
Taschenrechner Screenshot
Abb. 1: Screenshot
\( f‘(100)\approx 0,02\)
Zu Beginn des Jahres 2000 betrug die Änderungsrate der globalen Durchschnittstemperatur ca. \( 0,02^{\circ}C\) pro Jahr.
\( \blacktriangleright\)  Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur bestimmen
Der Mittelwert des Funktionswertes von \( f\) kann mithilfe eines Integrals berechnet werden. Zur Berechnung kann der GTR verwendet werden, indem du dir den Graphen von \( f\) anzeigen lässt:
\( \blacktriangleright\) TI 84-PLUS
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 7: \( \int f(x)\;\mathrm dx\)
2nd \( \to\) trace (calc) \( \to\) 7: \( \int f(x)\;\mathrm dx\)
\( \blacktriangleright\) Casio fx-CG
F5 (G-Solv) \( \to\) F6 \( \to\) F3: \( \int \;\mathrm dx\)
F5 (G-Solv) \( \to\) F6 \( \to\) F3: \( \int \;\mathrm dx\)
\( \frac{1}{200-0}\displaystyle\int_{0}^{200}f(t)\;\mathrm dt \approx 15,02\)
Der Mittelwert der globalen Durchschnittstemperatur im beschriebenen Modellierungszeitraum beträgt ca. \( 15,02^{\circ}C.\)
b)
\( \blacktriangleright\)  Fragestellung im Sachzusammenhang formulieren
Die Differenz zweier Funktionswerte \( f(t_2)\) und \( f(t_1)\) soll \( 0,5\) betragen, wobei \( t_2 = t_1+10\) ist. Im Sachzusammenhang ist also folgende Fragestellung möglich:
„In welchem Zeitraum, der \( 10\) Jahre andauert, nimmt die globale Durchschnittstemperatur um \( 0,5^{\circ}C\) zu?“
\( \blacktriangleright\)  Wachsenden Anstieg nachweisen
Das Wachstum der Änderungsrate von \( f\) wird durch die zweite Ableitungsfunktion \( f‘‘\) beschrieben. Zu zeigen ist also, dass \( f‘‘(t)\gt  0\) ist für alle \( t\in [36,52\,;\,200].\)
\( \begin{array}[t]{rll}
f(t)&=& 2,8\cdot \mathrm e^{0,008t}-0,03t+11,1  \\[10pt]
f‘(t)&=& 2,8\cdot 0,008\cdot \mathrm e^{0,008t}-0,03  \\[5pt]
&=& 0,0224\cdot \mathrm e^{0,008t}-0,03 \\[10pt]
f‘‘(t)&=&   0,0224\cdot 0,008\cdot \mathrm e^{0,008t} \\[5pt]
&=& 0,0001792\cdot \mathrm e^{0,008t} \\[5pt]
\end{array}\)
Da sowohl der Faktor \( 0,0001792\) als auch der Faktor \( \mathrm e^{0,008t}\) für alle \( t\) positiv ist, ist auch \( f‘‘(t)\gt 0\) für alle \( t\in\mathbb{R}.\) Also verläuft der Anstieg der globalen Durchschnittstemperatur immer schneller.
c)
\( \blacktriangleright\)  Spätesten Zeitpunkt für die Maßnahmen bestimmen
Der Verlauf der globalen Durchschnittstemperatur wird ab dem Zeitpunkt \( t_0\) durch die Tangente \( t\) an den Graphen von \( f\) an der Stelle \( t_0\) beschrieben. Es soll \( t(150) \approx 15,7\) sein, die Tangente soll also durch den Punkt \( P(150\mid 15,7)\) verlaufen.
Mit der allgemeinen Tangentengleichung folgt für eine Tangente an den Graphen von \( f\) an der Stelle \( t_0:\)
\( f:\quad y = f‘(t_0)\cdot (t-t_0)+f(t_0)\)
Einsetzen der Koordinaten von \( P\) liefert zusammen mit dem Funktionsterm der ersten Ableitung eine Gleichung, die mit dem intersect-Befehl des GTRs nach \( t_0\) gelöst werden kann:
\( \begin{array}[t]{rll}
15,7&=& f‘(t_0)\cdot (150-t_0)+f(t_0)  \\[5pt]
15,7&=& \left(0,0224\cdot \mathrm e^{0,008t_0}-0,03  \right)\cdot (150-t_0)+ 2,8\cdot \mathrm e^{0,008t_0}-0,03t_0+11,1   \\[5pt]
15,7&=& 3,36\cdot \mathrm e^{0,008t_0}-4,5 -0,0224t_0\cdot \mathrm e^{0,008t_0} +0,03t_0+ 2,8\cdot \mathrm e^{0,008t_0}-0,03t_0+11,1 \\[5pt]
15,7&=&  6,16\cdot \mathrm e^{0,008t_0}+6,6 -0,0224t_0\cdot \mathrm e^{0,008t_0}&\scriptsize \quad \mid\; GTR \\[5pt]
t_0&\approx& 122,37
\end{array}\)
Die zweite Lösung der Gleichung \( t= 174,08\) ist größer als \( 150\) und somit nicht relevant für die Aufgabenstellung.
Der späteste Zeitpunkt, zu dem die Maßnahmen greifen müssen, ist \( t_0\approx 122,37,\) also im Jahr 2022.
d)
\( \blacktriangleright\)  Funktionsterm bestimmen
Die allgemeine Differenzialgleichung für beschränktes Wachstum lautet:
\( g‘(t)= k\cdot \left(S-g(t)\right)\)
Dazu gilt \( g(t)= S-(S-g(0))\cdot \mathrm e^{-k\cdot t}.\)
  • Betrachtet man nun \( t\) in Jahren seit Beginn des Jahres 2020, so ergibt sich aufgrund des knickfreien Anschlusses an den Graphen von \( f\) folgende Anfangsbedingung:
    \( g(0)=f(120)\)
  • Da der Anschluss ohne Knick sein soll, muss \( g‘(0)=f‘(120)\) sein.
  • \( S\) ist die Schranke, also ist \( S=16,8.\)
Alle drei Bedingungen können nun in \( g‘(t)\) eingesetzt werden:
\( \begin{array}[t]{rll}
        g‘(t)&=& k\cdot \left(S-g(t)\right) &\quad \scriptsize \mid\;S=16,8 \\[5pt]
        g‘(t)&=& k\cdot (16,8-g(t)) \\[5pt]
        f‘(120)&=& k\cdot (16,8-f(120)) \\[5pt]
        0,0224\cdot \mathrm e^{0,008\cdot 120}-0,03 &=& k\cdot (16,8-\left(2,8\cdot \mathrm e^{0,008\cdot 120}-0,03\cdot 120+11,1 \right)) \\[5pt]
        0,0224\cdot \mathrm e^{0,96}-0,03 &=& k\cdot (16,8-2,8\cdot \mathrm e^{0,008\cdot 120}+3,6-11,1 ) \\[5pt]
        0,0224\cdot \mathrm e^{0,96}-0,03 &=& k\cdot (9,3-2,8\cdot \mathrm e^{0,96} ) &\quad \scriptsize \mid\; : \left( 9,3-2,8\cdot \mathrm e^{0,96}\right) \\[5pt]
        0,0143&\approx& k
        \end{array}\)
Für die Anfangsbedingung gilt \( g(0)=f(120)\approx 14,8.\) Damit ergibt sich folgender Funktionsterm:
\( \begin{array}[t]{rll}
        g(t)&=& 16,8-(16,8-14,8)\cdot \mathrm e^{-0,0143\cdot t} \\[5pt]
        &=& 16,8-2\cdot \mathrm e^{-0,0143\cdot t}
        \end{array}\)

Aufgabe A 2.2

a)
\( \blacktriangleright\)  Achsensymmetrie begründen
Es gilt:
\( \begin{array}[t]{rll}
f_a(-x)&=& -a\cdot (-x)^4+4a\cdot (-x)^2   \\[5pt]
&=& -ax^4+4ax^2 \\[5pt]
&=& f_a(x)
\end{array}\)
Also ist der Graph von \( f_a\) achsensymmetrisch zur \( y\)-Achse.
\( \blacktriangleright\)  Nullstellen bestimmen
\( \begin{array}[t]{rll}
f_a(x)&=& 0   \\[5pt]
-ax^4+4ax^2&=& 0   \\[5pt]
ax^2(-x^2+4)&=& 0 
\end{array}\)
Die Nullstellen sind also \( x_{1/2}=0,\) \( x_3 = -2\) und \( x_4=2.\) Diese hängen nicht von \( a\) ab.
b)
\(\blacktriangleright\)  Parameterwert bestimmen
Der Inhalt der Fläche, die vom Graphen von \(g\) eingeschlossen wird, kann mithilfe eines Integrals mit dem GTR berechnet werden:
\(\begin{array}[t]{rll}
A_g&=& \displaystyle\int_{0}^{2}g(x)\;\mathrm dx   \\[5pt]
&=& \frac{128}{15} 
\end{array}\)
Das entsprechende Integral für \(f_a\) kann man nun also mit \(A_g\) gleichsetzen:
\(\begin{array}[t]{rll}
\displaystyle\int_{0}^{2}f_a(x)\;\mathrm dx  &=& \frac{128}{15}  \\[5pt]
\displaystyle\int_{0}^{2}\left(-ax^4+4ax^2\right)\;\mathrm dx  &=& \frac{128}{15}  \\[5pt]
\left[-\frac{a}{5}x^5+\frac{4}{3}ax^3\right]_0^2 &=& \frac{128}{15}  \\[5pt]
-\frac{a}{5}\cdot 2^5+\frac{4}{3}a\cdot 2^3+\frac{a}{5}\cdot 0^5-\frac{4}{3}a\cdot 0^3 &=& \frac{128}{15} \\[5pt]
-\frac{32}{5}a+\frac{32}{3}a &=& \frac{128}{15}  \\[5pt]
\frac{64}{15}a &=& \frac{128}{15} &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{64}{15}\\[5pt]
a&=& 2
\end{array}\)
Für \(a=2\) haben beide Flächen den gleichen Inhalt.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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