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Wahlteil B1

Aufgaben
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Alle Aufgabenteile sind auch für das Abi ab 2019 geeignet.
a)
Weise nach, dass die Bodenfläche der oberen Etage nicht rechtwinklig ist.
Die folgenden Rechnungen zeigen ein mögliches Vorgehen zur Ermittlung der Koordinaten von \( S:\)
\( \pmatrix{0\\0\\15}+r\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{0\\30\\15} + s\cdot \pmatrix{-5\\-5\\-15} \Leftrightarrow r=s=3\)
\( \pmatrix{0\\0\\15}+3\cdot \pmatrix{-5\\5\\-15} = \pmatrix{-15\\15\\-30}\)
d.h. \( S(-15\mid 15\mid -30)\)
Erläutere die Schritte des dargestellten Vorgehens.
(3,5 BE)
b)
Berechne den Inhalt der Bodenfläche der oberen Etage.
Für die obere Etage wird eine Anlage zur Entfeuchtung der Luft installiert, die für jeweils \( 100\,\text{m}^3\) Rauminhalt eine elektrische Leistung von \( 0,8\) Kilowatt benötigt.
Weise nach, dass zur Entfeuchtung der Luft eine Leistung von \( 25\) Kilowatt ausreichend ist.
(3 BE)
c)
An einer Metallstange deren Enden durch die Punkte \(G\) und \(R(-5\mid 5\mid 15)\) dargestellt werden, ist ein Scheinwerfer befestigt, der sich entlang der Stange verschieben lässt. Die Größe des Scheinwerfers soll vernachlässigt werden.
Der Scheinwerfer soll aus einer Entfernung von \(8\,\text{m}\) diejenige Wand beleuchten, die im Modell durch das Dreieck \(EFG\) dargestellt wird.
Berechne die Koordinaten des Punktes, der die Position des Scheinwerfers im Modell beschreibt.
(3,5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
\( \blacktriangleright\)  Rechtwinkligkeit überprüfen
Die Bodenfläche der oberen Etage wird durch das Dreieck \( DEF\) dargestellt. Dieses ist rechtwinklig, wenn eins der Skalarprodukte zweier Verbindungsvektoren der Eckpunkte null ist.
\( \begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{DF}\circ\overrightarrow{DE}&=&\pmatrix{-25\\5\\0}\circ\pmatrix{0\\30\\0}  \\[5pt]
&=& -25\cdot 0 +5\cdot 30 +0\cdot 0 \\[5pt]
&=& 150 \\[10pt]
\overrightarrow{DF}\circ\overrightarrow{FE}&=&\pmatrix{-25\\5\\0}\circ\pmatrix{25\\25\\0}  \\[5pt]
&=& -25\cdot 25 +5\cdot 25 +0\cdot 0 \\[5pt]
&=& -500 \\[10pt]
\overrightarrow{FE}\circ\overrightarrow{DE}&=&\pmatrix{25\\25\\0}\circ\pmatrix{0\\30\\0}  \\[5pt]
&=& 25\cdot 0 +25\cdot 30 +0\cdot 0 \\[5pt]
&=& 750 \\[10pt]
\end{array}\)
In keinem der Punkte \( D,\) \( E\) oder \( F\) besitzt das Dreieck einen rechten Winkel. Die Bodenfläche der obersten Etage ist also nicht rechtwinklig.
\( \blacktriangleright\)  Vorgehen beschreiben
Der Punkt \( S\) ist der Schnittpunkt der drei Geraden durch die Punkte \( F\) und \( C,\) \( D\) und \( A,\) \( E\) und \( B.\)
Es genügt den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen. In der dargestellten Rechnung werden die beiden Parameterdarstellungen der Geraden durch die Punkte \( D\) und \( A\) mit dem Geradenparameter \( r\) und durch die Punkte \( E\) und \( B\) mit dem Geradenparameter \( s\) gleichgesetzt.
Diese Gleichung liefert eine Lösung für \( r\) und \( s.\) Der Wert für \( r\) wird in die Geradengleichung durch die Punkte \( D\) und \( A\) eingesetzt und liefert den Ortsvektor des Schnittpunkts.
Daraus erhält man die Koordinaten des Punkts \( S.\)
b)
\( \blacktriangleright\)  Inhalt der Bodenfläche berechnen
Der Flächeninhalt eines Dreiecks, das von zwei Vektoren aufgespannt wird, kann mithilfe des Kreuzprodukts berechnet werden:
\( \begin{array}[t]{rll}
A_{DEF}&=&\frac{1}{2}\cdot \left|\overrightarrow{DF}\times \overrightarrow{DE} \right|  \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{-25\\5\\0}\times\pmatrix{0\\30\\0} \right| \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{5\cdot 0 - 0\cdot 30\\ 0\cdot 0 - (-25)\cdot 0\\ (-25)\cdot 30 - 5\cdot 0} \right| \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot \left|\pmatrix{0\\ 0\\ -750} \right| \\[5pt]
&=& \frac{1}{2}\cdot 750 \\[5pt]
&=&  375
\end{array}\)
Die Bodenfläche der oberen Etage ist \( 375\,\text{m}^2\) groß.
\( \blacktriangleright\)  Benötigte Leistung überprüfen
Die obere Etage wird durch die Pyramide \( DEFG\) dargestellt. Die Größe der Grundfläche \( DEF\) wurde bereits berechnet. Die Höhe entspricht dem Abstand des Punkts \( G\) von der Ebene, in der die Grundfläche liegt.
Da alle drei Eckpunkte der Grundfläche die gleiche \( x_3\)-Koordinate \( 15\) haben, liegt die Grundfläche parallel zur \( x_1x_2\)-Ebene. Die Bodenfläche liegt also in einer Höhe von \( 15\) Metern. Die Spitze \( G\) der Pyramide hat die \( x_3\)-Koordinate \( 35.\) Die Höhe der Pyramide ist also \( 20.\) Mit der Formel für das Pyramidenvolumen ergibt sich:
\( V= \frac{1}{3}\cdot 375\cdot 20 = 2.500\)
Das Volumen der oberen Etage beträgt \( 2.500\,\text{m}^3.\) Es werden demnach \( 25\cdot 0,8\) Kilowatt benötigt. \( 25\) Kilowatt reichen also aus.
c)
\(\blacktriangleright\)  Koordinaten des Scheinwerfers berechnen
Die Metallstange liegt im Modell auf der Geraden \(g\) durch die Punkte \(G\) und \(R.\) Gesucht ist ein Punkt \(P\) auf dieser Geraden, der von der Ebene \(E\), in der die Punkte \(E,\) \(F\) und \(G\) liegen, den Abstand \(8\) hat.
1. Schritt: Geradengleichung aufstellen
\(\begin{array}[t]{rll}
g: \quad \overrightarrow{x}&=& \overrightarrow{OG} + r\cdot \overrightarrow{GR}  \\[5pt]
&=& \pmatrix{-10\\10\\35} +r\cdot \pmatrix{5\\-5\\-20} \\[5pt]
\end{array}\)
Die Punkte auf \(g\) haben also die Koordinaten \(P_r(-10+5r\mid 10-5r\mid 35-20r).\)
2. Schritt: Ebenengleichung aufstellen
Mithilfe der Hesseschen Normalenform lässt sich eine Gleichung für den Abstand aufstellen. Ein Normalenvektor von \(E\) kann mithilfe des Kreuzprodukts zweier Spannvektoren bestimmt werden:
\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{n}&=& \overrightarrow{FE}\times \overrightarrow{FG}  \\[5pt]
&=& \pmatrix{25\\25\\0} \times \pmatrix{15\\5\\20} \\[5pt]
&=& \pmatrix{25\cdot 20 - 0\cdot 5 \\ 0\cdot 15 - 25\cdot 20\\ 25\cdot 5 - 25\cdot 15} \\[5pt]
&=& \pmatrix{500\\-500\\-250} \\[5pt]
\end{array}\)
Mithilfe einer Punktprobe mit den Koordinaten von \(G\) ergibt sich:
\(\begin{array}[t]{rll}
E:\quad  500x_1-500x_2-250x_3 &=& d &\quad \scriptsize \mid\; G(-10\mid 10\mid 35) \\[5pt]
500\cdot (-10)-500\cdot 10-250\cdot 35 &=&d  \\[5pt]
-18.750 &=& d \\[5pt]
\end{array}\)
Für die Hessesche Normalenform wird noch der Betrag des Normalenvektors benötigt.
\(\begin{array}[t]{rll}
\left|\overrightarrow{n} \right|&=& \left| \pmatrix{500\\-500\\-250}\right| \\[5pt]
&=& \sqrt{500^2+(-500)^2 + (-250)^2}\\[5pt]
&=& 750 
\end{array}\)
Eine mögliche Darstellung von \(E\) in der Hesseschen Normalenform lautet also:
\(\begin{array}[t]{rll}
E:\quad \dfrac{500x_1-500x_2-250x_3 +18.750}{750}&=& 0  \\[5pt]
 \dfrac{2x_1-2x_2-x_3 +75}{3}&=& 0
\end{array}\)
Der Abstand zwischen einem Punkt \(P(x_1\mid x_2\mid x_3)\) zur Ebene \(E\) ist dann:
\(d(E,P) =  \dfrac{\left|2x_1-2x_2-x_3 +75\right|}{3}\)
3. Schritt: Gleichung für den Abstand aufstellen und lösen
Einsetzen der Koordinaten der Punkte \(P_r\) auf der Geraden \(g\) in die Abstandsfunktion und Gleichsetzen mit \(8\) liefert:
\(\begin{array}[t]{rll}
 \dfrac{\left|2x_1-2x_2-x_3 +75\right|}{3}&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\;\dot 3 \\[5pt]
\left|2x_1-2x_2-x_3 +75 \right|&=& 24 &\quad \scriptsize \mid\;P_r \\[5pt]
\left|2\cdot (-10+5r)-2\cdot (10-5r)-(35-20r) + 75 \right| &=& 24  \\[5pt]
\left|-20 +10r -20 +10r -35 +20r +75 \right|&=& 24  \\[5pt]
\left|40r\right| &=& 24 &\quad \scriptsize \mid\; :40\\[5pt]
r &=& \pm 0,6
\end{array}\)
Für \(r=-0,6\) läge der Punkt nicht zwischen \(G\) und \(R.\) Damit ergibt sich der Ortsvektor des Punkts, in dem sich der Scheinwerfer befindet:
\(\begin{array}[t]{rll}
\overrightarrow{OP}&=& \pmatrix{-10\\10\\35} +0,6\cdot \pmatrix{5\\-5\\-20} \\[5pt]
&=& \pmatrix{-7\\7\\23} \\[5pt]
\end{array}\)
Die Position des Scheinwerfers wird im Modell durch den Punkt \(P(-7\mid7\mid23)\) beschrieben.
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