Ein Unternehmen stellt Kunststoffteile her. Erfahrungsgemäß sind $4\,\%$ der hergestellten Teile fehlerhaft. Die Anzahl fehlerhafter Teile unter zufällig ausgewählten kann als binomialverteilt angenommen werden.

$800$ Kunststoffteile werden zufällig ausgewählt.
Berechne für die folgenden Ereignisse jeweils die Wahrscheinlichkeit:

$A:$

„Genau $30$ der Teile sind fehlerhaft.“

$B:$ $^{\color{#87c800}{\boldsymbol{*}}}$

„Mindestens $5\,\%$ der Teile sind fehlerhaft.“

(1,5 BE)

b) $^{\color{#87c800}{\boldsymbol{*}}}$

Ermittle, wie viele Kunststoffteile mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit davon mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens $100$ Teile keinen Fehler haben.

(2 BE)

Die Kunststoffteile werden aus Kunststoffgranulat hergestellt. Nach einem Wechsel des Granulats vermutet der Produktionsleiter, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile reduziert hat. Um einen Anhaltspunkt dafür zu gewinnen, ob die Vermutung gerechtfertigt ist, soll die Nullhypothese „Der Anteil der fehlerhaften Teile beträgt mindestens $4\,\%.$ “ auf der Grundlage einer Stichprobe von $500$ Teilen auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%$ getestet werden.
Bestimme die zugehörige Entscheidungsregel.

(2,5 BE)

Aufgabe C 1.2

Für ein Spiel wird ein Glücksrad verwendet, das drei Sektoren in den Farben rot, grün und blau hat. Für einen Einsatz von $5\,\text{Euro}$ darf ein Spieler das Glücksrad dreimal drehen. Erzielt der Spieler dreimal die gleiche Farbe, werden ihm $10\,\text{Euro}$ ausgezahlt.
Erzielt er drei verschiedene Farben, wird ein anderer Betrag ausgezahlt. In allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung.
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass dreimal die gleiche Farbe erzielt wird, ist $\frac{1}{6}.$
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass drei verschiedene Farben erzielt werden, beträgt ebenfalls $\frac{1}{6}.$

Bei dem Spiel ist zu erwarten, dass sich die Einsätze der Spieler und die Auszahlungen auf lange Sicht ausgleichen.
Berechne den Betrag, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

(1,5 BE)

b) $^{\color{#87c800}{\boldsymbol{*}}}$

Die ursprünglichen Größen der Sektoren werden geändert. Dabei soll der Mittelpunktswinkel des blauen Sektors größer als $180^{\circ}$ werden.
Die Abbildung zeigt einen Teil eines Baumdiagramms, das für das geänderte Glücksrad die drei Drehungen beschreibt. Ergänzend ist für einen Pfad die zugehörige Wahrscheinlichkeit angegeben.

Abb. 1

Bestimme die Weite des zum blauen Sektor gehörenden Mittelpunktswinkels.

(2,5 BE)

Bildnachweise [nach oben]

[1]

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Lösungen

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Aufgabe C 1.1

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die Anzahl der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $800$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit $n=800$ und $p=0,04$ angenommen werden.

Mithilfe des GTRs kann dann die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit dem binomPdf- bzw. binomCdf-Befehl bestimmt werden.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

2nd $\to$ vars (distr) $\to$ A: binompdf / B: binomcdf

$P(X=k) =\text{binompdf(n,p,k)}$

$P(X=k) =$ $\text{binompdf(n,p,k)}$

$P( X \leq b) = \text{binomPdf(n,p,b)}$

$P( X \leq b) =$ $\text{binomPdf(n,p,b)}$

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=30) &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] &\approx& 0,0693 \\[5pt] &=& 6,93\,\% \end{array}$

$P(A)\approx 6,93\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Für Ereignis $B$ muss zuerst berechnet werden, wie viel $5\,\%$ sind:

$0,05 \cdot 800 = 40$

Mit dem BinomialCdf-Befehl folgt daher:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X\geq 40) \\[5pt] &=& 1- P(X\leq 39) &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 0,0912 \\[5pt] &=& 9,12\,\% \end{array}$

$P(B)\approx 9,12\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Verwende das Statistik-Menü deines GTRs:

F5: DIST $\to$ F5: BINOMIAL $\to$ F1: Bpd / F2: Bcd

Für Ereignis $A$ ergibt sich mit dem Binomial Pdf-Befehl:

$\begin{array}[t]{rll} P(A)&=& P(X=30) &\quad \scriptsize \mid\; GTR\\[5pt] &\approx& 0,0693 \\[5pt] &=& 6,93\,\% \end{array}$

$P(A)\approx 6,93\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

Für Ereignis $B$ muss zuerst berechnet werden, wie viel $5\,\%$ sind:

$0,05 \cdot 800 = 40$

Mit dem Binomial Cdf-Befehl folgt daher:

$\begin{array}[t]{rll} P(B)&=& P(X\geq 40) &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] &\approx& 0,0912 \\[5pt] &=& 9,12\,\% \end{array}$

$P(B)\approx 9,12\,\%$

Vollständige Lösung anzeigen

$\blacktriangleright$ Mindestanzahl berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die Anzahl der fehlerfreien Teile in einer zufälligen Stichprobe von $n$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann laut Aufgabenstellung als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p=0,96$ angenommen werden.
Gesucht ist dann das kleinste $n,$ sodass gerade noch $P(X_n \geq 100) \geq 0,95$ gilt.

Lege dazu eine Liste in deinem GTR an, in der für verschiedene $n\geq 100$ der Wert $P(X_n \geq 100)$ berechnet wird.

$\blacktriangleright$ TI 84-PLUS

Gib zunächst über $\text{2nd} \to \text{window(tblset)}$ den Startwert für $n$ ein. Gib anschließend unter $\text{2nd} \to \text{graph(table)}$ für $Y$ die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $X$ ein. Verwende dazu das Gegenereignis und den Binomial Cdf-Befehl.

$P(X_n \geq 100) = 1- P(X_n\leq 99)$

$\blacktriangleright$ Casio fx-CG

Öffne das Tabellen-Menü in deinem GTR. Gib als Funktion die Wahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von $X$ ein. Verwende dazu das Gegenereignis und den Binomial Cdf-Befehl. Unter $\text{F5: SET}$ kannst du den Bereich für $X$ einstellen.

$P(X_n \geq 100) = 1- P(X_n\leq 99)$

OPTN $\to$ F6 $\to$ F3: STAT $\to$ F1: DIST $\to$ F5: Binomial $\to$ F2: Bcd

Mit dem GTR erhältst du:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_{107}\geq 100)&\approx& 0,93 \\[5pt] P(X_{108}\geq 100)&\approx& 0,97 \\[5pt] \end{array}$

Es müssen also mindestens $108$ Kunststoffteile ausgewählt werden, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens $100$ fehlerfreie zu erhalten.

$\blacktriangleright$ Entscheidungsregel bestimmen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_p,$ die den Anteil der fehlerhaften Teile in einer zufälligen Stichprobe von $500$ Kunststoffteilen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=500$ und unbekanntem $p$ angenommen werden.

Getestet wird die Nullhypothese $H_0:\quad p \geq 0,04$

mit der Gegenhypothese $H_1:\quad p \lt 0,04$

auf einem Signifikanzniveau von $5\,\%.$

Trifft die Nullhypothese im Extremfall zu, ist $p=0,04.$ Gesucht ist nun die größte Anzahl fehlerhafter Teile $k,$ die in der Stichprobe gefunden werden darf, sodass die Nullhypothese gerade noch abgelehnt wird.
Mit dem Signifikanzniveau ergibt sich die Gleichung:

$P(X_{0,04} \leq k) \leq 0,05$

Wie in der letzten Teilaufgabe kannst du in deinem GTR eine Tabelle mit verschiedenen Werten für $k$ und der zugehörigen Wahrscheinlichkeit mit $n=500$ und $p=0,04$ anlegen. Du erhältst dann folgende Werte:

$\begin{array}[t]{rll} P(X_{0,04}\leq 12)&\approx& 0,036 \\[5pt] P(X_{0,04}\leq 13)&\approx& 0,062 \\[5pt] \end{array}$

Sind also von den $500$ Teilen höchstens $12$ fehlerhaft, wird die Nullhypothese verworfen und man kann auf dem Signifikanzniveau von $5\,\%$ davon ausgehen, dass sich der Anteil der fehlerhaften Teile durch das neue Granulat verbessert hat.

Aufgabe C 1.2

$\blacktriangleright$ Auszahlung berechnen

Der erwartete Gewinn soll auf Null herauskommen. Betrachtet wird die Zufallsgröße $G,$ die den zufälligen Gewinn des Spielers beschreibt. Mit $a$ wird der Betrag bezeichnet, der ausgezahlt wird, wenn drei verschiedene Farben erscheinen.

$\begin{array}[t]{rll} E(G)&=& 0 \,€ \\[5pt] \frac{1}{6}\cdot 10 \,€ + \frac{1}{6}\cdot a + \frac{4}{6}\cdot 0\,€- 5\,€ &=& 0\,€ \\[5pt] -\frac{10}{3}\,€+\frac{1}{6}\cdot a &=& 0\,€ &\quad \scriptsize \mid\;+\frac{10}{3}\,€ \\[5pt] \frac{1}{6}\cdot a &=& \frac{10}{3}\,€ &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 6 \\[5pt] a&=& 20\,€ \end{array}$

$a= 20\,€$

Vollständige Lösung anzeigen

Wenn drei verschiedene Farben erscheinen, werden $20\,€$ ausgezahlt.

$\blacktriangleright$ Die Weite des Mittelpunktswinkels bestimmen

Für die Wahrscheinlichkeiten der drei Sektoren gilt laut Baumdiagramm:

grün: $p$
rot: $2p$
blau: $1-p-2p = 1-3p$

Mit der Pfadmultiplikationsregel folgt aus der angegebenen Pfadwahrscheinlichkeit eine Gleichung. Diese kannst du mit dem Graphik-Menü deines GTRs lösen, indem du die Schnittpunkte der beiden Graphen zu $y = 4p^2 - 12p^3$ und $y= 0,036$ bestimmst:

$\begin{array}[t]{rll} 2p\cdot 2p \cdot (1-3p)&=& 0,036 \\[5pt] 4p^2 - 12p^3&=&0,036 &\quad \scriptsize \mid\; GTR \\[5pt] p_1&\approx& -0,085 \\[5pt] p_2&\approx& 0,118 \\[5pt] p_3&=& 0,3 \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} p_1&\approx& -0,085 \\[5pt] p_2&\approx& 0,118 \\[5pt] p_3&=& 0,3 \end{array}$

Vollständige Lösung anzeigen

$p_1$ ist negativ und kommt daher nicht infrage.
Für $p_2$ folgt für die Wahrscheinlichkeit von blau: $1-3p_2 \approx 0,646.$
Für $p_3$ folgt entsprechend für die Wahrscheinlichkeit von blau: $1-3p_3 = 0,1$

Da der Mittelpunktswinkel des blauen Sektors größer als $180^{\circ}$ sein soll, muss die Wahrscheinlichkeit von blau größer als $0,5$ sein. Die einzige mögliche Lösung ist also $p_2 \approx 0,118$ mit der Wahrscheinlichkeit $0,646$ für blau. Der zugehörige Mittelpunktswinkel ist dann:

$360^{\circ}\cdot 0,646 = 232,56^{\circ}$

Der Mittelpunktswinkel des blauen Sektors hat die Weite $232,56^{\circ}.$

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