Die Abbildung zeigt den Graphen einer Funktion $f$ , die für $0\leq t \leq 17$ die Höhe einer Pflanze in Abhängigkeit von der Zeit beschreibt. Dabei ist $t$ die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Wochen und $f(t)$ die Höhe in Zentimetern.

$\,$

Gib den Zeitraum an, in dem die Höhe der Pflanze von $20 \, \text {cm}$ auf $40 \, \text {cm}$ zunimmt.
Bestimme die momentane Änderungsrate der Pflanzenhöhe $3,5$ Wochen nach Beobachtungsbeginn.
Die Funktion $f$ hat bei $t=6,5$ eine Wendestelle.
Beschreibe die Bedeutung dieser Wendestelle im Sachzusammenhang.

(4 VP)

$\,$

Formuliere zu der Gleichung $f(t+2)-f(t)=5$ eine Fragestellung im Sachzusammenhang.
Gib eine Lösung der Gleichung an.

(2,5 VP)

Aufgabe A1.2

Gegeben ist die Funktion $f$ mit $f(x)=\dfrac{1}{4}x^3-3x^2+9x.$
Die Abbildung zeigt ihren Graphen.

$\,$

Weise nach, dass der Punkt $T(6\mid 0)$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ ist.
Betrachtet wird die Strecke $OH$ zwischen $O (0\mid 0)$ und dem Hochpunkt $H(2\mid 8)$ des Graphen von $f$ . Diese Strecke und der Graph von $f$ begrenzen eine Fläche.
Berechne deren Inhalt.

(5 VP)

$\,$

Die Funktion $g$ ist gegeben durch $g(x)=-3\cdot f(x)-6$ .
Beschreibe, wie der Graph von $g$ aus dem Graphen von $f$ entsteht.
Bestimme damit die Koordinaten des Tiefpunktes des Graphen von $g$ .

(3 VP)

$\,$

Ein Kreis, dessen Mittelpunkt $M$ auf der Geraden mit der Gleichung $x=1$ liegt, berührt den Graphen von $f$ im Punkt $P(4\mid 4)$ .
Berechne die Koordinaten von $M$ .

(2,5 VP)

$\,$

Für jedes $k$ mit $k\neq 0$ ist eine Funktion $f_k$ gegeben durch

$f_k(x)=\dfrac{1}{2k}x^3-3x^2+\dfrac{9}{2}k \, x.$

Berechne die Werte von $k$ , für die die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $P(1 \mid f_k (1))$ parallel zur Geraden mit der Gleichung $y=8x+3$ ist.

(3 VP)

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Lösungen

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Aufgabe A1.1

Zeitraum angeben

Der Abbildung lässt sich entnehmen: $20\approx f(2,6)$ und $40\approx f(5,5)$
Im Zeitraum zwischen $2,6$ und $5,5$ Wochen nach Beobachtungsbeginn nimmt die Höhe der Pflanze von $20\,\text{cm}$ auf $40\,\text{cm}$ zu.

Momentane Änderungsrate bestimmen

In die Abbildung wird die Tangente an den Graphen an der Stelle $t=3,5$ eingezeichnet. Mithilfe eine Steigungsdreiecks mit den Eckpunkten $(3,5\mid 25)$ und ( $9,5\mid 65$ ) erhält man:

$\( f$

$3,5$ Wochen nach Beobachtungsbeginn, beträgt die momentane Änderungsrate ca. $6,7\,\text{cm}$ pro Woche.

Bedeutung der Wendestelle im Sachzusammenhang beschreiben

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist an der Wendestelle von $f$ maximal. D.h. hier wächst die Pflanze am schnellsten.

Fragestellung im Sachzusammenhang formulieren

$f(t+2) -f(t) =5$

"In welchem Zeitraum mit der Länge von zwei Wochen, nimmt die Höhe der Pflanze um 5 cm zu?"

Lösung der Gleichung angeben

Der Abbildung lässt sich entnehmen: $f(13) \approx 90$ und $f(15)\approx 95$
Eine mögliche Lösung ist also $t=13.$

Aufgabe A1.2

Tiefpunkt nachweisen

1. Schritt: Ableitungsfunktionen aufstellen

$\(\begin{array}[t]{rll} f(x)&= \dfrac{1}{4}x^3 -3x^2 +9x \\[5pt] f$

2. Schritt: Notwendiges Kriterium überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Das notwendige Kriterium für Extremstellen von $f$ ist an der Stelle $x=6$ also erfüllt.

3. Schritt: Hinreichendes Kriterium überprüfen

$\(\begin{array}[t]{rll} f$

Da das hinreichende Kriterium $\(f$ für Minimalstellen erfüllt ist und das notwendige Kriterium für Extremstellen ebenfalls erfüllt ist, besitzt der Graph von $f$ an der Stelle $x=6$ einen Tiefpunkt.

Zudem gilt:

$f(6)= \frac{1}{4}\cdot 6^3 -3\cdot 6^2 +9\cdot 6\,$ $=0$

Damit ist nachgewiesen, dass $T(6\mid 0)$ Tiefpunkt des Graphen von $f$ ist.

Flächeninhalt berechnen

1. Schritt: Geradengleichung durch $O$ und $H$ bestimmen

$m =\dfrac{8-0}{2-0}=4$

$g(x) = 4x$

2. Schritt: Flächeninhalt berechnen

Der Flächeninhalt zwischen zwei Graphen kann mit einem Integral berechnet werden:

$\begin{array}[t]{rll} A &=& \displaystyle\int_{0}^{2}(f(x)-g(x))\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{4}x^3-3x^2+9x-4x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] &=& \displaystyle\int_{0}^{2}\left(\frac{1}{4}x^3-3x^2+5x\right)\;\mathrm dx \\[5pt] \end{array}$ $\begin{array}[t]{rll} \,\,\,\;&=& \left[\frac{1}{16}x^4-x^3+\frac{5}{2}x^2\right]_0^2\\[5pt] &=& \frac{1}{16}\cdot 2^4-2^3+\frac{5}{2}\cdot 2^2 -\left(\frac{1}{16}\cdot 0^4-0^3+\frac{5}{2}\cdot 0^2 \right) \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Vollständigen Rechenweg anzeigen

$A=3$

Der Flächeninhalt der vom Graphen von $f$ und der Strecke durch $O$ und $H$ eingeschlossenen Fläche beträgt $3\,\text{FE}.$

Zusammenhang der Graphen beschreiben

Durch den Faktor $-3$ wird der Graph von $g$ im Vergleich zum Graphen von $f$ um den Faktor $3$ in $y$ -Richtung gestreckt und durch das negative Vorzeichen an der $x$ -Achse gespiegelt.
Durch den Summanden $-6$ wird der Graph anschließend in negative $y$ -Richtung um $6$ Einheiten verschoben.

Der Graph von $g$ geht also durch Spiegelung an der $x$ -Achse und Streckung in $y$ -Richtung mit dem Faktor $3$ und anschließender Verschiebung um $6$ Einheiten in negativer $y$ -Richtung hervor.

Koordinaten des Tiefpunkts bestimmen

Aufgrund der Spiegelung an der $x$ -Achse werden Maximalstellen von $f$ zu Minimalstellen von $g$ und umgekehrt. Die $x$ -Koordinate des Tiefpunkts des Graphen von $g$ ist also $2.$

$g(2) = -3\cdot f(2) -6\,$ $= -3\cdot 8 -6 = -30.$

Die Koordinaten des Tiefpunkts des Graphen von $g$ lauten $T_g(2\mid -30).$

Koordinaten berechnen

Es ist $M(1\mid y_M),$ da der Mittelpunkt $M$ von $K$ auf der Geraden $x=1$ liegt.

Die Steigung der Geraden $MP$ ist gleich der Steigung der Normalen in $P.$

$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4-y_M}{4-1}&=&\dfrac{1}{3} \\[5pt] 4-y_M&=&1\\ 3&=&y_M \end{array}$

Parameterwerte berechnen

Gesucht sind die Werte von $k,$ für die $\(f_k$ ist.

$f_k(x) = \dfrac{1}{2k}x^3 -3x^2 +\dfrac{9}{2}kx$

$\(f_k$

$\(\begin{array}[t]{rll} f_k$

$\begin{array}[t]{rll} k_{1/2} &=& -\dfrac{- \frac{28}{9}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{- \frac{28}{9}}{2} \right)^2 -\dfrac{1}{3} } \\[5pt] &=& \dfrac{14}{9}\pm \dfrac{13}{9}\\[10pt] k_1 &=& \dfrac{14}{9}- \dfrac{13}{9} \\[5pt] &=& \dfrac{1}{9} \\[10pt] k_2 &=& \dfrac{14}{9}+ \dfrac{13}{9} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$

Für $k_1= \frac{1}{9}$ und $k_2 = 3$ verläuft die Tangente an den Graphen von $f_k$ im Punkt $P(1\mid f_k(1))$ parallel zur Geraden mit der Gleichung $y=8x+3.$

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