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Wahlteil C1

Aufgaben
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Betrachtet werden Körper, die auf jeder Seitenfläche mit einer Zahl beschriftet sind.
Körper Tetraeder Würfel Oktaeder
Anzahl der Seitenflächen vier sechs acht
beschriftet mit 1, 2, 3, 4 1, 2, 3, 4, 5, 6 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
Beim Werfen eines Körpers gilt die Zahl als geworfen, auf der der Körper zum Liegen kommt. Dabei werden bei jedem Körper die möglichen Zahlen jeweils mit derselben Wahrscheinlichkeit geworfen.
a)
Ein Tetraeder wird \(100\)-mal geworfen.
Bestimme die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse.
A: "Die Zahl \(1\) wird genau \(30\)-mal geworfen."
B: "Die Zahl \(1\) wird mindestens \(20\)-mal geworfen."
(1,5 VP)
b)
Ermittle, wie oft man ein Tetraeder mindestens werfen muss, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95 \,\%\) mindestens einmal die Zahl \(1\) zu werfen.
(2 VP)
c)
Ein Tetraeder, ein Würfel und ein Oktaeder werden gleichzeitig geworfen.
Berechne die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse.
C: "Bei allen drei Körpern wird dieselbe Zahl geworfen."
D: "Die Summe der geworfenen Zahlen beträgt \(17\)."
(2,5 VP)
d)
Für einen Einsatz von \(50\,\text {Cent}\) darf ein Spieler ein Tetraeder und einen Würfel einmal werfen. Anschließend erhält er die Anzahl der geworfenen Einsen in Euro ausbezahlt.
Bestimme den Erwartungswert für den Gewinn des Spielers.
(2 VP)
e)
In einem Sack befinden sich \(20\) Körper. Es handelt sich dabei um Tetraeder oder Oktaeder, wie sie oben beschrieben sind. Einer dieser Körper wird zufällig gezogen und anschließend geworfen. Die Wahrscheinlichkeit, dabei die Zahl \(2\) zu werfen, beträgt \(15\,\%\).
Berechne die Anzahl der Tetraeder im Sack.
(2 VP)
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Lösungen
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a)
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Betrachtet wird die Zufallsgröße \(X,\) die die zufällige Anzahl der geworfenen Einsen bei \(100\)-maligem Werfen eines Tetraeders beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit \(n=100\) und \(p= 0,25\) betrachtet werden.
\(\begin{array}[t]{rll}
        P(A) &=& P(X=30)\\[5pt]
        &=& \binom{100}{30} \cdot 0,25^{30}\cdot 0,75^{70} \\[5pt]
        &\approx& 0,0458\\[5pt]
        &=& 4,58\,\% \\[5pt]
        P(B) &=& P(X\geq 20)\\[5pt]
        &=& 1-P(X\leq 19) \\[5pt]
        &\approx& 1-0,0995\\[5pt]
        &=& 0,9005\\[5pt]
        &=& 90,05\,\% \\[5pt]
        \end{array}\)
b)
Anzahl Würfe ermitteln
Betrachtet wird die Zufallsgröße \(X_n,\) die die zufällige Anzahl der geworfenen Einsen bei \(n\)-maligem Werfen eines Tetraeders beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem \(n\) und \(p= 0,25\) betrachtet werden. Gesucht ist nun \(n,\) sodass \(P(X_n\geq 1) \geq 0,95\) gilt.
\(\begin{array}[t]{rll}
        P(X_n\geq 1) &\geq& 0,95 \\[5pt]
        1- P(X_n= 0) &\geq& 0,95 \quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt]
        - P(X_n= 0) &\geq& -0,05 \quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt]
        P(X_n= 0) &\leq& 0,05 \\[5pt]
        \dbinom{n}{0}\cdot 0,25^0 \cdot 0,75^n &\leq & 0,05 \\[5pt]
        0,75^n &\leq & 0,05 \quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt]
        n\cdot \ln 0,75 &\leq& \ln 0,05 \quad \scriptsize\mid \; :\ln 0,75 \lt 0\\[5pt]
        n &\geq& 10,4
        \end{array}\)
Der Tetraeder muss mindestens \(11\) mal geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(95\,\%\) mindestens einmal die Zahl \(1\) geworfen wird.
c)
Wahrscheinlichkeiten berechnen
Mit den Pfadregeln folgt:
\(\begin{array}[t]{rll}
        P(C) &=& 4\cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{8} \\[5pt]
        &=& \dfrac{1}{48} \\[5pt]
        &\approx& 0,0208 \\[5pt]
        &=& 2,08\,\%
        \end{array}\)
Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. \(2,08\,\%\) wird mit allen drei Körpern dieselbe Zahl geworfen.
Für Ereignis \(D\) gibt es folgende Möglichkeiten:
OktaederWürfelTetraederSumme
86317
85417
76417
\(\begin{array}[t]{rll}
        P(D) &=& 3\cdot \dfrac{1}{8}\cdot \dfrac{1}{6}\cdot \dfrac{1}{4} \\[5pt]
        &=& \dfrac{1}{64} \\[5pt]
        &\approx& 0,0156 \\[5pt]
        &=& 1,56\,\% \\[5pt]
        \end{array}\)
d)
Erwartungswert für den Gewinn des Spielers bestimmen
Bezeichne mit \(Z\) die Zufallsgröße, die die zufällige Anzahl der geworfenen Einsen bei dem beschriebenen Spiel beschreibt. \(Z\) kann die Werte \(0,\) \(1\) und \(2\) annehmen.
\(\begin{array}[t]{rll}
        P(Z=0) &=& \dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{5}{6} \\[5pt]
        &=& \dfrac{5}{8} \\[10pt]
        P(Z=1) &=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{5}{6} + \dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{6} \\[5pt]
        &=& \dfrac{1}{3} \\[10pt]
        P(Z=2) &=& \dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{1}{6} \\[5pt]
        &=& \dfrac{1}{24}
        \end{array}\)
Für den erwarteten Gewinn des Spielers folgt:
\(\begin{array}[t]{rll}
        E(G) &=& 0\cdot P(Z=0) + 1\cdot P(Z=1) +2\cdot P(Z=2) -0,5 \\[5pt]
        &=& 1\cdot \dfrac{1}{3} +2\cdot \dfrac{1}{24} -0,5 \\[5pt]
        &=& -\dfrac{1}{12} \\[5pt]
        \end{array}\)
Der erwartete Gewinn für den Spieler beträgt \(-\frac{1}{12}\,€.\)
e)
Anzahl Tetraeder berechnen
\(\begin{array}[t]{rll}
p&=&\dfrac{x}{20}\cdot\dfrac{1}{4}+\dfrac{20-x}{20}\cdot\dfrac{1}{8}\\[5pt]
&=&\dfrac{2x}{160}+\dfrac{20-x}{160}\\[5pt]
  p&=&\dfrac{x+20}{160}\\[5pt]
\end{array}\)
Die Wahrscheinlichkeit soll \(0,15\) sein, also gilt:
\(\dfrac{x+20}{160}=0,15\), also \(x+20=24\) und somit \(x=4.\)
Im Sack befinden sich vier Tetraeder.
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