Wahlteil C1 (Mathe LF Abi 2019 (WTR) in Baden-Württemberg Gymnasium Abi-Aufgaben (WTR/GTR))

Körper	Tetraeder	Würfel	Oktaeder
Abb. 1	Abb. 2	Abb. 3
Anzahl der Seitenflächen	vier	sechs	acht
beschriftet mit	1, 2, 3, 4	1, 2, 3, 4, 5, 6	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der geworfenen Einsen bei $100$ -maligem Werfen eines Tetraeders beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=100$ und $p= 0,25$ betrachtet werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& P(X=30)\\[5pt] &=& \binom{100}{30} \cdot 0,25^{30}\cdot 0,75^{70} \\[5pt] &\approx& 0,0458\\[5pt] &=& 4,58\,\% \\[5pt] P(B) &=& P(X\geq 20)\\[5pt] &=& 1-P(X\leq 19) &\quad \scriptsize\mid \; \text{Tabelle zur summierten Binomialverteilung} \\[5pt] &\approx& 1-0,0995\\[5pt] &=& 0,9005\\[5pt] &=& 90,05\,\% \\[5pt] \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &\approx& 0,0458\\[5pt] &=& 4,58\,\% \\[5pt] P(B)&\approx& 1-0,0995\\[5pt] &=& 0,9005\\[5pt] &=& 90,05\,\% \\[5pt] \end{array}$

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$\blacktriangleright$ Anzahl Würfe ermitteln

Betrachtet wird die Zufallsgröße $X_n,$ die die zufällige Anzahl der geworfenen Einsen bei $n$ -maligem Werfen eines Tetraeders beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit unbekanntem $n$ und $p= 0,25$ betrachtet werden. Gesucht ist nun $n,$ sodass $P(X_n\geq 1) \geq 0,95$ gilt.

$\begin{array}[t]{rll} P(X_n\geq 1) &\geq& 0,95 \\[5pt] 1- P(X_n= 0) &\geq& 0,95 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] - P(X_n= 0) &\geq& -0,05 &\quad \scriptsize \mid\;\cdot (-1) \\[5pt] P(X_n= 0) &\leq& 0,05 \\[5pt] \binom{n}{0}\cdot 0,25^0 \cdot 0,75^n &\leq & 0,05 \\[5pt] 0,75^n &\leq & 0,05 &\quad \scriptsize\mid \; \ln \\[5pt] n\cdot \ln 0,75 &\leq& \ln 0,05 &\quad \scriptsize\mid \; :\ln 0,75 \lt 0\\[5pt] n &\geq& 10,4 \end{array}$

$n\geq 10,4$

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Der Tetraeder muss mindestens $11$ mal geworfen werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens $95\,\%$ mindestens einmal die Zahl $1$ geworfen wird.

$\blacktriangleright$ Wahrscheinlichkeiten berechnen

Mit den Pfadregeln folgt:

$\begin{array}[t]{rll} P(C) &=& 4\cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{8} \\[5pt] &=& \frac{1}{48} \\[5pt] &\approx& 0,0208 \\[5pt] &=& 2,08\,\% \end{array}$

$P(C)\approx 2,08\,\%$

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Mit einer Wahrscheinlichkeit von ca. $2,08\,\%$ wird mit allen drei Körpern dieselbe Zahl geworfen.

Für Ereignis $D$ gibt es folgende Möglichkeiten:

Oktaeder	Würfel	Tetraeder	Summe
$8$	$6$	$3$	$17$
$8$	$5$	$4$	$17$
$7$	$6$	$4$	$17$

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$\begin{array}[t]{rll} P(D) &=& 3\cdot \frac{1}{8}\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{4} \\[5pt] &=& \frac{1}{64} \\[5pt] &\approx& 0,0156 \\[5pt] &=& 1,56\,\% \\[5pt] \end{array}$

$P(D)\approx 1,56\,\%$

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$\blacktriangleright$ Erwartungswert für den Gewinn des Spielers bestimmen

Bezeichne mit $Z$ die Zufallsgröße, die die zufällige Anzahl der geworfenen Einsen bei dem beschriebenen Spiel beschreibt. $Z$ kann die Werte $0,$ $1$ und $2$ annehmen.

$\begin{array}[t]{rll} P(Z=0) &=& \frac{3}{4}\cdot \frac{5}{6} \\[5pt] &=& \frac{5}{8} \\[10pt] P(Z=1) &=& \frac{1}{4}\cdot \frac{5}{6} + \frac{3}{4}\cdot\frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{3} \\[10pt] P(Z=2) &=& \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{6} \\[5pt] &=& \frac{1}{24} \end{array}$

$\begin{array}[t]{rll} P(Z=0) &=& \frac{5}{8} \\[10pt] P(Z=1) &=& \frac{1}{3} \\[10pt] P(Z=2) &=& \frac{1}{24} \end{array}$

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Für den erwarteten Gewinn des Spielers folgt:

$\begin{array}[t]{rll} E(G) &=& 0\cdot P(Z=0) + 1\cdot P(Z=1) +2\cdot P(Z=2) -0,5 \\[5pt] &=& 1\cdot \frac{1}{3} +2\cdot \frac{1}{24} -0,5 \\[5pt] &=& -\frac{1}{12} \\[5pt] \end{array}$

$E(G)=-\frac{1}{12}$

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Der erwartete Gewinn für den Spieler beträgt $-\frac{1}{12}\,€.$

$\blacktriangleright$ Anzahl Tetraeder berechnen

Zeichne zur Übersicht ein Baumdiagramm:

	$p$						$1-p$
		$T$				$O$
$\frac{1}{4}$			$\frac{3}{4}$	$\quad$	$\frac{1}{8}$			$\frac{7}{8}$
	$2$	$\overline{2}$				$2$	$\overline{2}$

Mit den Pfadregeln erhältst du folgende Gleichung:

$\begin{array}[t]{rll} P(2) &=& p\cdot \frac{1}{4} + (1-p)\cdot \frac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid\; P(2) = 0,15\\[5pt] 0,15 &=&p\cdot \frac{1}{4} + (1-p)\cdot \frac{1}{8} \\[5pt] 0,15 &=&p\cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{8}-p\cdot \frac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid\;-\frac{1}{8} \\[5pt] 0,025 &=& p\cdot \frac{1}{4} -p\cdot \frac{1}{8} \\[5pt] 0,025 &=& p\cdot \frac{1}{8} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 8 \\[5pt] 0,2 &=& p \end{array}$

$p=0,2$

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$20\,\%$ der Körper in dem Sack sind also Tetraeder. Es sind $20$ Körper in dem Sack.

$20 \cdot 0,2 = 4$

In dem Sack befinden sich $4$ Tetraeder.

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