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Aufgaben
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Ein Glücksspielautomat enthält drei gleiche Glücksräder, die jeweils wie dargestellt in fünf gleich große Kreissektoren eingeteilt sind. Bei jedem Spiel werden die Räder in Drehung versetzt und laufen dann unabhängig voneinander aus. Schließlich bleiben sie so stehen, dass von jedem Rad genau ein Symbol im jeweiligen Rahmen angezeigt wird. Ein Spieler gewinnt nur dann, wenn alle drei Räder einen Stern zeigen.
Glücksrad
Abb. : Glücksrad
Glücksrad
Abb. : Glücksrad
a)
Weise rechnerisch nach, dass die Gewinnwahrscheinlichkeit bei einem Spiel \(6,4 \,\%\) beträgt.
Ein Spieler spielt \(20\) Spiele.
Bestimme die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
A: "Der Spieler gewinnt mehr als einmal."
B: "Der Spieler gewinnt in genau zwei Spielen und diese folgen direkt aufeinander."
(3 BE)
b)
Eine Spielerin spielt \(9\) Spiele.
Für ein Ereignis \(C\) gilt dabei
\(P(C)=\) \(0,064^{a}+9\cdot 0,064^8 \cdot 0,936^b.\)
Gib geeignete Werte für \(a\) und \(b\) an und beschreibe das Ereignis \(C\) im Sachzusammenhang.
(2 BE)
c)
Es wird vermutet, dass das mittlere Rad zu selten ein Sternsymbol zeigt. Deshalb wird die Nullhypothese "Das mittlere Rad zeigt mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens zwei Fünfteln ein Sternsymbol." getestet. Man vereinbart ein Signifikanzniveau von \(3 \,\% \) und einen Stichprobenumfang von \(300\) Drehungen. Formuliere die zugehörige Entscheidungsregel.
(2,5 BE)
d)
Die Glücksräder des Automaten werden durch drei neue ersetzt, die sich nicht voneinander unterscheiden. Die Glücksräder sind in mehrere gleich große Sektoren unterteilt. Jedes Glücksrad trägt in genau einem Sektor ein Sternsymbol. Man gewinnt bei \(50\) Spielen mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens \(99 \,\% \) höchstens einmal.
Bestimme die minimale Anzahl der Sektoren pro Glücksrad.
(2,5 BE)
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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a)
\(\blacktriangleright\)  Gewinnwahrscheinlichkeit nachweisen
\(P(\text{Gewinn}) = \frac{2}{5}\cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} = \frac{8}{125} = 0,064 = 6,4\,\%\)
Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt \(6,4\,\%.\)
\(\blacktriangleright\)  Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmen
Betrachte die Zufallsgröße \(X,\) die die zufällige Anzahl der Gewinne bei \(20\) Versuchen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit \(n=20\) und \(p = 0,064\) betrachtet werden.
\(\begin{array}[t]{rll}
P(A) &=& P(X\gt  1)  \\[5pt]
&=& 1-P(X\leq 1) \\[5pt]
&=& 1-(P(X=0) + P(X=1)) \\[5pt]
&=& 1- \left(\binom{20}{0}\cdot 0,064^0\cdot 0,936^{20} + \binom{20}{1}\cdot 0,064^1\cdot 0,936^{19} \right)\\[5pt]
&\approx& 0,3693 \\[5pt]
&=& 36,93\,\%
\end{array}\)
Es gibt \(19\) Möglichkeiten dafür, dass zwei aufeinanderfolgende Spiele gewonnen werden:
\(\begin{array}[t]{rll}
P(B) &=& 19\cdot 0,064^2\cdot 0,936^{18} \\[5pt]
&\approx& 0,0237 \\[5pt]
&=& 2,37\,\%
\end{array}\)
b)
\(\blacktriangleright\)  Geeignete Werte angeben und Ereignis im Sachzusammenhang beschreiben
Ein Vergleich mit der Formel zur Binomialverteilung ergibt \(a= 9\) und \(b=1\) als sinnvolle Werte. Dann wird mit dem angegebenen Term die Wahrscheinlichkeit für mindestens \(8\) Gewinne bei \(9\) Versuchen des betrachteten Glücksspiels berechnet.
\(C:\) Die Spielerin gewinnt mindestens \(8\) der \(9\) Spiele.
c)
\(\blacktriangleright\)  Entscheidungsregel formulieren
Betrachte die Zufallsgröße \(Y,\) die die Anzahl der gezeigten Sternsymbole in einer Stichprobe von \(200\) Drehungen des zweiten Glücksrades beschreibt.
Es wird folgende Nullhypothese untersucht:
\(H_0: \, p \geq 0,4\)
Trifft diese zu, so ist \(Y\) im Extremfall binomialverteilt mit \(n=300\) und \(p=0,4.\)
Aufgrund des vorgegebenen Signifikanzniveaus ist das größte ganzzahlige \(k\) gesucht, für das gerade noch folgende Ungeichung gilt:
\(P(Y \leq k) \leq 0,03\)
In einer entsprechenden Tabelle zur summierten Binomialverteilung findest du:
\(P(Y\leq 103) \approx 0,025\) und
\(P(Y\leq 104) \approx 0,033 \)
Eine zugehörige Entscheidungsregel lautet also:
Wird bei höchstens \(103\) der insgesamt \(300\) Drehungen das Sternsymbol angezeigt, so wird die Nullhypothese abgelehnt, andernfalls wird sie nicht abgelehnt.
d)
\(\blacktriangleright\)  Minimale Anzahl der Sektoren bestimmen
Bezeichne mit \(x\) die Anzahl der Sektoren pro Glücksrad.
Bezeichne mit \(Z\) die Zufallsgröße, die die zufällige Anzahl der Gewinne bei \(50\) Spielen beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit \(n=50\) und \(p= \left(\frac{1}{x}\right)^3 =\frac{1}{x^3} .\)
Dann folgt mithilfe der angegebenen Wahrscheinlichkeit:
\(\begin{array}[t]{rll}
P(Z\leq1) &\geq& 0,99   \\[5pt]
P(Z=0) + P(Z=1) &\geq& 0,99 \\[5pt]
\binom{50}{0}\cdot \left(\frac{1}{x^3} \right)^0\cdot \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{50} + \binom{50}{1}\cdot \left(\frac{1}{x^3} \right)^1\cdot \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49} &\geq& 0,99 \\[5pt]
 \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{50} + 50\cdot\frac{1}{x^3} \cdot \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49} &\geq& 0,99   \\[5pt]
  \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1- \frac{1}{x^3} +50\cdot\frac{1}{x^3}\right)   &\geq& 0,99   \\[5pt]
    \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right)   &\geq& 0,99   \\[5pt]
\end{array}\)
Durch Probieren mit verschiedenen Werten von \(x\) erhältst du beispielsweise:
\(\begin{array}[t]{rll}
x = 5 & \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right)&\approx& 0,9391 \lt  0,99  \\[5pt]
x = 6 &\left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right)&\approx& 0,9773\lt  0,99 \\[5pt]
x = 7 &\left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right)&\approx& 0,9905 \gt  0,99
\end{array}\)
Jedes Glücksrad muss also mindestens in \(7\) Sektoren aufgeteilt sein.
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