Wahlteil C2 (Mathe LF Abi 2019 (WTR) in Baden-Württemberg Gymnasium Abi-Aufgaben (WTR/GTR) )

Gewinnwahrscheinlichkeit nachweisen

$P(\text{Gewinn}) = \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{2}{5}\,$ $= \dfrac{8}{125} = 0,064 = 6,4\,\%$

Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn beträgt $6,4\,\%.$

Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse bestimmen

Betrachte die Zufallsgröße $X,$ die die zufällige Anzahl der Gewinne bei $20$ Versuchen beschreibt. Diese kann als binomialverteilt mit $n=20$ und $p = 0,064$ betrachtet werden.

$\begin{array}[t]{rll} P(A) &=& P(X\gt 1) \\[5pt] &=& 1-P(X\leq 1) \\[5pt] &=& 1-(P(X=0) + P(X=1)) \\[5pt] &=& 1- \left(\dbinom{20}{0}\cdot 0,064^0\cdot 0,936^{20} + \dbinom{20}{1}\cdot 0,064^1\cdot 0,936^{19} \right)\\[5pt] &\approx& 0,3693 \\[5pt] &=& 36,93\,\% \end{array}$

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$P(A)= 36,93\,\%$

Es gibt $19$ Möglichkeiten dafür, dass zwei aufeinanderfolgende Spiele gewonnen werden:

$\begin{array}[t]{rll} P(B) &=& 19\cdot 0,064^2\cdot 0,936^{18} \\[5pt] &\approx& 0,0237 \\[5pt] &=& 2,37\,\% \end{array}$

Geeignete Werte angeben und Ereignis im Sachzusammenhang beschreiben

Ein Vergleich mit der Formel zur Binomialverteilung ergibt $a= 9$ und $b=1$ als sinnvolle Werte. Dann wird mit dem angegebenen Term die Wahrscheinlichkeit für mindestens $8$ Gewinne bei $9$ Versuchen des betrachteten Glücksspiels berechnet.

$C:$ Die Spielerin gewinnt mindestens $8$ der $9$ Spiele.

Entscheidungsregel formulieren

Betrachte die Zufallsgröße $Y,$ die die Anzahl der gezeigten Sternsymbole in einer Stichprobe von $200$ Drehungen des zweiten Glücksrades beschreibt.
Es wird folgende Nullhypothese untersucht:

$H_0: \, p \geq 0,4$

Trifft diese zu, so ist $Y$ im Extremfall binomialverteilt mit $n=300$ und $p=0,4.$
Aufgrund des vorgegebenen Signifikanzniveaus ist das größte ganzzahlige $k$ gesucht, für das gerade noch folgende Ungeichung gilt:

$P(Y \leq k) \leq 0,03$

In einer entsprechenden Tabelle zur summierten Binomialverteilung findest du:

$P(Y\leq 103) \approx 0,025$ und

$P(Y\leq 104) \approx 0,033$

Eine zugehörige Entscheidungsregel lautet also:
Wird bei höchstens $103$ der insgesamt $300$ Drehungen das Sternsymbol angezeigt, so wird die Nullhypothese abgelehnt, andernfalls wird sie nicht abgelehnt.

Minimale Anzahl der Sektoren bestimmen

Bezeichne mit $x$ die Anzahl der Sektoren pro Glücksrad.
Bezeichne mit $Z$ die Zufallsgröße, die die zufällige Anzahl der Gewinne bei $50$ Spielen beschreibt. Diese ist binomialverteilt mit $n=50$ und $p= \left(\frac{1}{x}\right)^3 =\frac{1}{x^3} .$
Dann folgt mithilfe der angegebenen Wahrscheinlichkeit:

$\begin{array}[t]{rll} P(Z\leq1) &\geq& 0,99 \\[5pt] P(Z=0) + P(Z=1) &\geq& 0,99 \\[5pt] \binom{50}{0}\cdot \left(\frac{1}{x^3} \right)^0\cdot \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{50} + \binom{50}{1}\cdot \left(\frac{1}{x^3} \right)^1\cdot \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49} &\geq& 0,99 \\[5pt] \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{50} + 50\cdot\frac{1}{x^3} \cdot \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49} &\geq& 0,99 \\[5pt] \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1- \frac{1}{x^3} +50\cdot\frac{1}{x^3}\right) &\geq& 0,99 \\[5pt] \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right) &\geq& 0,99 \\[5pt] \end{array}$

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$\left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right) \geq 0,99$

Durch Probieren mit verschiedenen Werten von $x$ erhältst du beispielsweise:

$\begin{array}[t]{rll} x = 5 & \left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right)&\approx& 0,9391 \lt 0,99 \\[5pt] x = 6 &\left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right)&\approx& 0,9773\lt 0,99 \\[5pt] x = 7 &\left(1- \frac{1}{x^3}\right)^{49}\cdot \left(1 +49\cdot\frac{1}{x^3}\right)&\approx& 0,9905 \gt 0,99 \end{array}$

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$x = 0,9905 \gt 0,99$

Jedes Glücksrad muss also mindestens in $7$ Sektoren aufgeteilt sein.

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